∵PN∥BD， ∴
=
，
∴PN=3（1﹣x），B′N=3x﹣3（1﹣x）=6x﹣3，易知MN=4（2x﹣1）， ∴y=12x2﹣?（6x﹣3）?4（2x﹣1）=﹣12x2+24x﹣6．
综上所述，y=．
（3）如图3中，当PA=B时，PB′是△ABD是中位线． ∴AB′=DB′，此时CB′平分△ADC的面积，此时x=．
如图4中，设AB′的延长线交BC于G．
当DG=GC=4时，AB′平分△ADC的面积， ∵PB′∥BG， ∴∴
==
， ，
∴x=
．
如图5中，连接DB′交AC于N，延长B′P交AD于T，作NM⊥PB′于M，NH⊥AD于H．
由题意PA=（x﹣1），AT=x﹣1，TP=2（x﹣1），PB′=BQ=3+2（x﹣1）=2x+1，
当AN=CN时，DB′平分△ADC的面积， ∴可得AH=HD=2，HN=TM=2，
∴B′M=TB′﹣MT=2（x﹣1）+2x+1﹣4=4x﹣5，MN=2﹣（x﹣1）=3﹣x，TD=4﹣（x﹣1）=5﹣x， ∵MN∥TD， ∴∴∴x=
==，
s或
s时，经过点B′和△ADC一个顶点的直线平分△ADC的面积．
， ，
综上所述，x=s或
24．（12分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=（x+k）（x﹣3）交x轴于点A、B（A在B的 右侧），交y轴于点C，横坐标为2k的点P在抛物线C1上，连结PA、PC、AC，设△ACP的面积为S．（1）求直线AC对应的函数表达式（用含k的式子表示）．
（2）当点P在直线AC的下方时，求S取得最大值时抛物线C1所对应的函数表达式．
（3）当k取不同的值时，直线AC、抛物线C1和点P、点B都随k的变化而变化，但点P始终在不变的抛物线（虚线）C2：y=ax2+bx上，求抛物线C2所对应的函数表达式．
（4）如图②，当点P在直线AC的下方时，过点P作x轴的平行线交C2于点F，过点F作y轴的平行线交C1于点E，当△PEF与△ACO的相似比为时，直接写出k的值．
【解答】解：（1）在y=（x+k）（x﹣3）中，
令y=0，可得A（3，0），B（﹣k，0）， 令x=0，可得C（0，﹣3k），
设直线AC对应的函数表达式为：y=mx+n， 将A（3，0），C（0，﹣3k）代入得：解得：
，
，
∴直线AC对应的函数表达式为：y=kx﹣3k；
（2）如图①，过点P作y轴的平行线交AC于点Q，交x轴于点M， 过C作CN⊥PM于N，
当x=2k时，y=（2k+k）（2k﹣3）=6k2﹣9k， ∵点P、Q分别在抛物线C1、直线AC上， ∴P（2k，6k2﹣9k）、Q（2k，2k2﹣3k）， ∴PQ=9k﹣6k2﹣（3k﹣2k2）=﹣4k2+6k，
∴S△PAC=S△PQC+S△PQA=PQ?CN+PQ?AM=PQ?（CN+AM）， =PQ，
=（﹣4k2+6k）， =﹣6（k﹣）2+
，
， ﹣；
∴当k=时，△PAC面积的最大值是此时，C1：y=（x+）（x﹣3）=x2﹣（3）∵点P在抛物线C1上， ∴P（2k，6k2﹣9k），
当k=1时，此时P（2，﹣3），当k=2时，P（4，6），
把（2，﹣3）和（4，6）代入抛物线（虚线）C2：y=ax2+bx上得：
，
解得：，
∴抛物线C2所对应的函数表达式为：y=x2﹣x；
（4）如图②，由题意得：△ACO和△PEF都是直角三角形，且∠AOC=∠PFE=90°， ∵点P在直线AC的下方，横坐标为2k的点P在抛物线C1上， ∴P（2k，6k2﹣9k），且0＜k＜， ∵A（3，0），C（0，﹣3k），
∴OA=3，OC=3，
∴当△PEF与△ACO的相似比为时，存在两种情况： ①当△PEF∽△CAO时，∴
=，
，
∴PF=k，EF=1， ∴E（3k，12k2﹣12k）， ∵EF=1，
∴9k﹣6k2=12k﹣12k2+1， 6k2﹣3k﹣1=0， k1=
，k2=
＜0（舍），
，
②当△PEF∽△ACO时，∴
，
∴PF=1，EF=k，
∴E（2k+1，6k2﹣4k﹣2）， ∴4k+2﹣6k2+k=9k﹣6k2， k=，
综上所述，k的值为
或．
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