第二章塞瓦定理及应用

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第二章塞瓦定理及应用

【基础知识】

塞瓦定理 设A，B，C分别是 △ ABC的三边BC, CA，AB或其延长线上的点， 若AA，BB，CC 三线平行或共点，则_BA

竺1 .

AC BA C B

①

证明 如图2-1( b)、( c)，若AA , BB , CC交于一点P ,则过A作BC的平行线，分别交BB , CC

EA

的延长线于D , E, 得匹 AC_

BA AD ' C B BC

(b)

又由 BA竺拄，有型匹

AD PA EA AC EA 从而_BA皂竺 AD BC EA AC BA CB EA AD BC

若AA , BB , CC三线平行，可类似证明(略) 注 (1)对于图2-1 ( b )、( c)也有如下面积证法:

SA PAB SA PBC SA PCA 〔 即证 由: BA CB AC

2345

AC B A C B A PCA SA PAB SAPBC

上述两式相乘，得_BA CB些1 .

AC BA C B

其次，由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理.

如图2-2，设A , B , C分别为 △ ABC的三边BC , CA , AB所在直线上的点，且 A , B , C三 点共线?令直线 BB与CC交于点X ,直线CC与AA交于点Y ,直线AA与BB交于点Z . BC AP AC CA PA C B

A B CB AP BC B A PA

2 点P常称为塞瓦点.

3 共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证. 首先，由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理.

如图2-1 ( b )、( c),分别对△ ABA及截线CPC，对△ AAC及截线B PB应用梅涅劳斯定理有

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分别视点C , A,

B , C , A , B为塞瓦点，应用塞瓦定

即

理，

CA BX 1 对△ BCB及点 C （直线 BA, CX , BA的交点），有BA

AC AB XB AB C Y 对△ CAC及点 A （直线 CB , AY, CB的交点），有CB

BC BC YC

1 .

对△ ABA及点 B （直线 AC , BZ ,

AC的交点），有AC

BC AZ 1

C B CA ZA

1 对△ BBC及点 C （直线 BA , BA, CX的交点），有BX BA C A .

XB AC AB

对△ CCA及点 A （直线 CB ,CB ,

AY的交点），有CY

YC

C B AB 1

BA BC

对△ AAB及点 B （直线 AC ,AC,

BZ的交点），有AZ AC BC 1

ZA CB CA

上述八式相乘，有

BA CB AC

2

1 .

AC BA C B

故 BA CB AC

AC BA C B 塞瓦定理的逆定理 BA CB AC

设A , B , C分别是△ ABC的三边BC , 1 , ②

CA, AB或其延长线上的点，若

AC BA C B

则AA , BB , CC三直线共点或三直线互相平行.

证明若AA与BB交于点P，设CP与AB的交点为C1，则由塞瓦定理，有 BA CB AC1 AC1 AC ,即 AC1 AC ,亦即 AG AC , 1，又已知有 BA CB 也 1 ,由此得 AC BA C1B

AC BA GB

C1B

C B AB AB

故G 与C重合，从而 AA , BB , CC 三线共点. 若 AA II BB，贝U CB CB 代入已知条件，有 AC -

B A BA CB

AA II BB II CC .

AC 由此知CC II AA，故 CB

上述两定理可合写为： 设A , B , C分别是△ ABC的BC , CA, AB所在直线上的点，则三直线AA ,

BB , CC平行或共点的充要条件是 旦A

CB 也 1 .

AC BA C B

③

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第一角元形式的塞瓦定理 设A , B , C分别是 三直线AA , BB , CC平行或共点的充要条件是

△

ABC的三边 BC , CA , AB所在直线上的点，则

sin Z CBB sin Z BAA sin Z ACC 1 ?

sin Z B BA sin Z A AC sin Z C CB

CB BC sin / CBB AC AC sin z CCCB，三式相乘， AB sin Z BAA ABA

证明由_BA 氐 'BA AB sin / B BA CB S

AC ^ AAC AC sin Z AAC

再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立. 第二角元形的塞瓦定理 设A , B , C 分别△ ABC的三边BC , CA, AB所在直线上的点， 0是不 旦 在厶ABC的三边所在直线上的点，贝U sin AA，BB，CC平行或共点的充要条件疋

Z BOA sin Z AOC sin Z COB sin Z AOC sin Z COB sin Z BOA 证明注意到塞瓦定理及其

逆定理，有 1 BA CB AC S^ BOA S^ COB

AC BA CB BOA AOC SS

AOC ^ B OA ^ C OB

CO sin z COB AO sin Z AOC BO sin Z BOA CO sin Z AOC AO sin Z BOA BO sinZ COB

由此即证得结论. 1 ?特别要注注 在上述各定理中，若米用有向线段或有向角，则①、②、③、④、⑤式的右端仍为 意 的是三边所在直线上的点或者两点在边的延长线上，或者没有点在边的延长线上?④、⑤式中的角也

可按①式的对应线段记忆.

推论 设A1,吕,G，分别是△ ABC的外接圆三段弧 BC , CA , AB上的点，贝y AA , BB1 , CC1共

点的充要条件是

BA CB1 AC1

1 . AC Bi A C1B

证明 如图2-3,设厶ABC的外接圆半径为 R, AA交BC于A , B^交CA于B , CC1交AB于C .由

C1, B , A1, C ,

B1

六点共圆及正弦定理，有BC

2R sinZ BAA1 2R sinZ AAC

A

sin Z BAA sin Z A AC

B

1

B

A

A1

CB1 sin Z CBB AC1 sin Z ACC 同理，

C1B sin Z CCB B1A sin Z B BA

三式相乘，并应用第一角元形式的塞瓦定理即证.

为了使读者熟练地应用塞瓦定理，针对图 2-4 们写中的点 A、B、C、D、E、 出如下式子：

F ,将其作为塞瓦点，我

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