六同第四讲 质数、合数和分解质因数

第四讲 质数、合数和分解质因数

教学课题：质数、合数和分解质因数 教学课时：两课时

教学目标：1、进一步理解自然数、整数、整除、除尽、约数、倍数、奇数、偶数、素数、合数、质因数、

分解质因数的概念，掌握能被2、5、3整除数的特征

2、能对以上概念作正确判断，能熟练地把合数分解质因数。 3、培养学生判断、推理的能力。 教学重难点：掌握质因数及分解质因数。 教具准备： 本周通知：

教学过程： 一、故事导入

1643年，来自欧洲的殖民者在美洲大陆田纳西地区经历了一场恐怖 ：大量的蝉达到每公顷百万只，仿佛一夜之间从地底冒出，几个星期之后，又销声匿迹，事隔17年，这一现象再次出现，直到1991年，共出现22次，周期非常准确科学家发现蝉的生命周期大都为质数，比如在北美洲北部地区周期为17年，而在北美洲南部地区周期为13年，为什么是17和13，而不是其他数字那，科学家解释说，蝉进化的过程中选择质数为生命的周期，可以大大降低与天敌遭遇的概率。比如它的生命周期是12年，则与那些生命周期为1年、2年、3年4年、6年、12年的天敌都可能遭遇，而使得种群生存受威胁。这是一个我们将要研究的内容：

引出课题——质数、合数及分解质因数。 二、新课学习

师：质数、合数我们之前学过，那么同学们是否还记50以内的质数有哪些? （请了一位同学到黑板上写出50以内的质数，其他同学下面写，老师巡视。） 师：我们接下来看下例3该如何来求解。

例3、三个质数的和是32，这三个质数的积最大是多少？

【思路点拨】：32是个偶数，除了2以外的质数都是奇数，三个奇数相加和会是否是偶数。那么其中一定是有2，另外两个是其他的质数，则两个质数的和是30，从上面写的50以内的质数中找找那两个质数的和是30，然而要使这三个质数的积最大，则这两个质数的差必须最小，从而找到是13、17。 【答案】：2╳13╳17=442

【小结】：2是唯一的偶质数。两个不同质数的和是奇数则其中一定有2，三个不同的质数的和是偶数则其中一定有2。

师：以上是利用质数的和来解题，那么同学们接下来需要将合数用质数的积来表示，就是分解质因数，而分解质因数的方法就是用短除法，判断下这些数是质数还是合数，也就是这些数能不能被除1以外的数整除，如果是合数把这个数写成质因数相乘的形式;

例1: 请把下列各数分解质因数：72, 216, 1001 （点三名同学黑板上判断）

【思路点拨】：分解质因数的时候，联想下能被2、3、5整除的数的特征。 1001这个数突然看到以为是质数，但是我们需要坚持去用质数去除，试试更大的质数试除。

72?23?32【答案】：216?2?3

33

1001?7?11?131

【小结】：判断一个数是质数还是合数，需要看下这个数能否被除1以外的数整除，分解质因数时，应该优先考虑2和5，再考虑3，然后考虑11，最后按照从小到大的顺序逐个试除！

练习：例2、判断103、437是质数还是合数。 【思路点拨】：如何判断是不是质数： （1） 查表法。查质数表。

（2） 短除法。用试除法判断一个自然数a是不是质数时，用各个质数从小到大依次去除a，如果到某一

个质数正好整除，这个a就可以断定不是质数；如果不能整除，当不完全商又小于这个质数时，就不必再继续试除，可以断定a必然是质数．

【答案】：103是质数。

437不是质数，437?19?23。 【小结】：根据质数、合数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．一个数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．据此判断即可。

师：通过以上练习我们发现以上几道题中给出的是一个数让我们直接分解质因数，然而在实际生活中有没有要用到分解质因数来解决问题的？我看下例4是不是需要用分解质因数来解决问题？

例4、若585×（ ）=N×N，那么（ ）中最小填几，N又等于多少？

【思路点拨】：完全平方数分解质因数后，他们各个质因数的个数都是偶数的，而且完全平方数分解两个相同数分解质因数后各个质因数的个数是完全平方数的一半。所以这题我们必须先将585分解质因数，各个质因数的个数是否是偶数的，不是则需要补上1个这样的质数才使得括号中的数最小。N就是各个质因数的个数减半后相乘的积。

【答案】：585?3?5?13，需要补上5?13=65.N为195.

师：通过上题我们了解了完全平方数，而我们经常见的，最喜欢计算的整十整百整千……，是否能用分解质因数来分析下。比如100分解质因数后同学观察下有什么规律可以找？发现有2个质因数2，有2个质因数5，而且100后面就有2个零。同学们把1000分解质因数后看看是否是这样的规律。那同学们利用这个规律解下例8。

例5、要使975×215×48×（ ）的积的末尾有连续5个零，则括号内最小填几？

【思路点拨】：将他们用质因数积的形式来表示，看看有多少个2，多少个5，要有5个零，必须有5个2,5个5，不够就要补上最小的数使得恰好有5个2,5个5乘积的形式，从而的到需要括号里的数必须是1个2，2个5积的形式即50。

2975?52?3?17【答案】：215?5?43，需要补2?5?5?50。

48?24?3

例6、有四个人，他们的年龄一个比一个大一岁，他们的年龄的乘积等于5040，则这四个人中，年龄最小的是多少岁？

【思路点拨】：首先根据分解质因数的方法，把5040分解质因数，然后再它的质因数作适当的调整计算即可．把5040分解质因数： 5040=2×2×2×2×3×3×5×7

再把这些质数凑成四个连续的自然数的乘积： 2×2×2×2×3×3×5×7=7×8×9×10

2

【答案】：这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁,年龄最小的是7岁． 【小结】：此题主要根据分解质因数的方法解决问题．

例7、学校组织数学竞赛，每人都做20道题目，做对一道得一分，做错或不做都不得分，结果前4名的得分的乘积是57120，并且他们每人都比前一名少做对一题，问这4名同学各得几分？

【思路点拨】：首先根据分解质因数的方法，把57120分解质因数，然后再它的质因数作适当的调整计算即可．把57120分解质因数： 57120?2?3?5?7?17

再把这些质数凑成四个连续的自然数的乘积： 57120=17×16×15×14 【答案】：这四名学生的成绩分别是14、15、16、17 【小结】：此题主要根据分解质因数的方法解决问题．

例8、班主任带领同学去植树，学生按人数恰好平均分成三组，已知老师和学生一共种了312棵树，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵。这个班共有学生多少人？每人种多少棵树？

【思路点拨】：老师与学生每人种的数一样多，用人数与每人种树数的积就是312，然而其中的一个数必须小于10。发现必须将312分解质因数，找出其中一个因数小于10。而另外一个因数是人数，去掉1后必须能够被3整除。则有1、312和4、78和6、52和8、39，发现学生人数只能是52-1=51才行，从而老师与学生每人种6棵树。）

【答案】：综上这个班共有学生51人，每人种树6棵。

【小结】：通过题意分析发现几个未知的数积已知，然而这几个数未知，可以通过分解质因数来解决这类题目。

师：看来分解质因数还能用来做解应用题的方法，分解质因数还能不能有其他的作用呢？我们都知道有这类数，一个数是两个相同数的积，我们都称它是完全平方数，同学找找哪些数是完全平方数。比如36是6与6的积等等，我们将这类数分解质因数后你们发现了什么样规律。同学通过你发现的规律来看看如果解例7.

三、课堂小结

分解质因数要用短除法，应该优先考虑2和5，再考虑3，然后考虑11，最后按照从小到大的顺序逐个试除！从而判断一个数是否是合数。通过分解质因数来解决几个数连乘的题型非常方便，然而需要总结规律，从一般到特殊，需要牢记完全平方数是分解质因数后，他们各个质因数的个数都是偶数的，而且完全平方数分解两个相同数分解质因数后各个质因数的个数是完全平方数的一半。还有看一个数的末尾有多少个0就必须将它分解质因数看看有多少个2，多少个5相乘，其中个数最少的那个就是末尾0的个数。

四、 作业

家庭作业：练习1、2、3、4、8、9

五、板书设计

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质数、合数和分解质因数

1、质数 例3、 例1、 例4、 2、合数 例5、 例6、 3、分解质因数

六、课后反思

练习巩固

1、把下列各数写成几个质因数相乘的形式。

975 215 48 92565

975?52?3?17 215?5?43 48?24?3 92565?32?5?112?17

2、两个质数的和是20，那么这两个质数的积有几种情况？最大是什么？ 两种情况，17和3，13和7.最大是7?13?91

3、三个连续自然数的乘积是120，求这三个数的和是多少？

120?23?3?5，三个数是4、5、6，和是15.

4、若360×（ ）=N×N×N，那么（ ）中最小填几，N又等于多少？ 360?2?3?5，空格处填3?5?75。N为30.

5、要使875×625×25×（ ）的积末尾有5个零，括号里最小填几？

322875?53?7 625?54

25?52 空格填32

6、小明的哥哥参加了今年的数学竞赛，小明问哥哥成绩和名次。哥哥告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910，你看我的成绩和名次各是多少？”

2190?2?3?5?97

成绩是97，如果他2×5 = 10岁，则考了第3名；如果他3×5 = 15岁，则考了第2名

7、将一批图书分给三个班，他们所得的本数一个班比一个班多3本，且各个班图书本数的乘积为58968，三个班各得多少本？

58968?23?34?7?13，三个班各得书

4

2?2?3?3?363?13?396?7?428、某超市出售每支5元的圆珠笔，但是很少有人去买，经过降价处理后，一下子全部卖完，共卖得319.3元，问库存多少支这样的圆珠笔？每支降价多少元？

319.3?103?3.1，库存103支这样的圆珠笔，5-3.1=1.9元，每支降价1.9元。

9、小明问小强：你射击三枪，共中几环？小强：一二枪的环数乘积时48；二三枪的环数乘积时72；一三枪的环数乘积时54。小强三枪共射中多少环？

48?6?872?8?9，小强三枪中6、8、9 54?6?910、已知1176×a=b4，a，b是自然数，则a的最小值是多少？

如8=23 完全立方数

4=22 完全平方数 16=24

A=2×2×2×3×3×3

2×3 2×3 2×3 6 6 6 A=6

3

2

2×2×3×（ 3 ）=6

2 2 3 3

少一个3

写成平方 相同质因数的个数能平均分成2分 即是2的倍数 写成立方 相同质因数的个数能平均分成3分 即是3的倍数 写成四次方 相同质因数的个数能平均分成4分 即是4的倍数 ??

1176=2×3×7

3

2

32

至少分别有4个 少2×3×7

32

a=2×3×7=2646

5