第三章剪切和扭转

a?C1C??CC?sin45??a?sin45? 2000则 ??2rad 20002

200G0故 ??G??3.8 空心圆截面轴，外径D?40mm，内径d?20mm，扭矩Mt?1kN?m，试计算距圆心ρ处A点的扭转切应力?A以及横截面上的最大和最小扭转切应力，设??15mm。 [解]

M?A?t??IpM?t?Wp32?1?10332?103?15?10?3t??63.7MPa 44?????20??1??D4?1??????404??1?????10?12????40?????2???16?1?103?84.9MPa 4??1??3??40??1?????10?9???2????max?minMtd32?1?103?10?10?3?·??42.47MPa 4Ip2??1??404??1???10?12?2?3.9 一直径为90mm的圆截面轴，其转速为45rmin，设横截面上最大切应力为50MPa，试求轴所传递的功率。

[解] 由?max?Mt得 WpMt?Wp??max??d316?????903?10?916?50?106=7156.9N?m

N nTn7156.9?45??33.73kW 所以 N?95499549又 Mt?T，T?954923.10 当薄壁圆筒的R0t?10时，按公式??Mt2?R0t计算扭转切应力最大误差是百

分之几？

[解] 设薄壁圆筒的内半径为r，外半径为R，平均半径为R0，壁厚为t，受到的扭矩为

Mt，则按空心圆截面杆扭转的精确理论计算的切应力为：

?max?MtMtR? ?WpR4?r42??2与按公式??Mt2?R0t计算扭转切应力的误差为

MtR?R?r??max???2MtR?max?444??Mt2?R02t?R2?r4?11?R4?r44RR02t?1R4?r42?1??R4?r4R?2R0?t2?R?1??r2?R?r??R?r?2?R?R?r??R?r?

rR?rrt???RR?r2RR0当

R0R?rr19?10???10时，即，则最大误差为4.6％。

2(R?r)R21t3.11 图3.11表示一圆杆在矩为T的外力偶作用下发生扭转，两横截面ABE、CDF与水

平纵截面ABCD的交线AB与CD从原来的平行关系变成空间斜交，试问它们的空间交角的大小都与哪些因素相关？

T T A E 图3.11

[解] 由??B D F

C Mtl可知，交角φ与扭矩Mt和AB、CD两线间距离l成正比，与圆杆的抗GIp扭截面刚度GIp成反比。

3.12 某小型水电站的水轮机容量为50kW，转速为300rmin，钢轴直径为75mm，如果在正常运转下且只考虑扭转作用时，其许用切应力????20MPa，试校核该轴的强度。

[解] T?9549又T?Mt

N50?9549??1591.5N?m n300该轴的最大工作切应力

?max?Mt16Mt16?1591.5???19.2MPa???? 33?9Wp?D??75?10所以，该刚轴强度符合要求。

3.13 圆轴的直径d?50mm，转速为120rmin，若该轴横截面上最大切应力为

60MPa，问所传递的功率为多少千瓦？

[解] 由?max?Mt16Mt得 ?3Wp?dMt??d316??max???503?10?916?60?106?1472.6N?m

又Mt?T，T?9549N nN?n?T?1472.6?1209549?18.5kW 95493.14 已知钻探机钻杆外径D?60mm，内径d?50mm，功率N?7.355kW，转速

n?180rmin，钻杆入土深度l?40m，钻杆材料的G?8?104MPa，许用切应力

????40MPa 。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均布的，试求：

（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度t； （2）作钻杆扭矩图，并进行强度校核；

（3）钻杆入土段相距10m的A、B两截面的相对扭转角。

TAAMtlMt(x)xBB图 3.12

[解]（1）由Mt?T?9549

N7.335?9549??389N?m n180假定阻力矩沿长度均匀分布，则有

T?l?t?t?T389??9.725N?m/m l40（2）距钻杆下端x处截面的扭矩为

Mt?x??tx

所以扭矩图为一斜直线，如图3.12所示，Mtmax?389N?m。 强度效核：

??Mtmax?WP16?389??603?1??????50???60?4??9??10???17.75MPa?[?]

满足强度要求。

（3）由d??Mt(x)dx得，

GIP40?AB??40040txdxMt(x)dxtx2???0GIPGIP2GIP?09.725?4022?80?109??6032?4?504?10?12?

?0.148rad?8.5?

3.15 图示一直径为50mm的圆轴，两端受矩为Mt?1kN?m的外力偶作用而发生扭转，轴的材料剪切弹性模量G?8?10MPa，试求：

4d（1）横截面上A点到轴心的距离为?A?，试求该点

4力?A和切应变?A；

（2）最大切应力和单位长度轴的扭转角θ。

A O ρA 图3.13

[解] 轴仅在两端受外力偶矩作用，所以任一横截面扭矩均为T?Mt?1kN?m。 （1）?A?d处：切应力为 4T32?1?10350?10?3?A??A???20.4MPa

Ip??504?10?124d Mt 切应