第三章剪切和扭转

20.4?106?4??2.55?10rad 切应变 ?A?G8?1010?A（2）?maxT16?1?103???40.8MPa 3?9Wp??50?10轴的单位长度扭转角

T18032?1?103180??????1.17?m 104?12GIp??8?10???50?103.16 图3.14示一端固定一端自由的等直圆杆，直径为50mm，在自由端截面上受到其矩为T?12kN?m的外力偶作用。在圆杆表面上的A点将位移到A1点，已知弧长为

?AA1=6.3mm，圆杆材料的弹性模量E?2.0?105MPa，求横向变形系数（泊松比）?。

T O 1m 2m 图3.14

[解]

O1 O2 d=50 A A1 ?oo?1AA12?6.3??0.252rad d502由于此圆杆O端固定，则截面O1相对固定端的扭转角为：

?oo?1Mtloo1GIp

12?103?1?32?0.252 即 4?12G???50?10可得 G?77606.98MPa 由 G?E

2?1???E2?105?1??1?0.29 所以 ??2G2?77606.983.17 某钢轴，转速为n?250rmin，所传递功率N?60kW，许用切应力

????40MPa，单位长度轴的许用扭转角????0.8?计轴的直径。

[解] 外力偶矩

m，剪切弹性模量G?80GPa，试设

T?9549N60?9549??2291.8N?m n250由截面法求得轴横截面的扭矩

Mt?T

Mt180Mt16Mt?d4由强度条件?max??????及IP?有 ?????和刚度条件??GIp?32Wp?d3d?3Mt?16?????32291.8?16?0.0663m?66.3mm 6??40?10d?4Mt?180?322291.8?180?324??0.0676m?67.6mm 2102G????8?10???0.8所以，取 d?68mm

3.18 若将上题的轴改为??0.8?????d??的空心轴，则其内径和外径分别为多大？将D?此空心轴与上题设计出的实心轴比较，空心轴质量为实心轴质量的百分之几？

[解] 由空心轴扭转强度条件?max?Mt16Mt?????得 34Wp?D1????D?316Mt16?2291.83??0.0791m?79.1mm 446??1????????1?0.8??40?10Mt180?D4由空心轴扭转刚度条件???????及IP?1??4有

GIp?32??D?4Mt?180?322291.8?180?324??0.0771m?77.1mm 241024G??1??????8?10???1?0.8??0.8取外径D＝80mm，则轴的内径为d1?0.8?80?64mm。

两根材料和长度相同的等直杆，其质量之比就等于它们的横截面面积之比，则有

?m空?m实?D4?42?d12?d2802?642??0.498

682即空心轴质量是实心轴质量的49.8%.

3.19 有一壁厚为25mm，内径为250mm的空心圆筒，其长度为1m，作用在轴两端面内的外力偶矩为180kN?m，试确定筒中最大切应力，并求筒内的应变能G?8?10MPa。

[解] Mt?T?180kN?m，圆筒外径D?250?25?2?300mm 所以

?4??maxM16Mt?t??Wp?D31??4??16?180?103?65.6MPa 4???250??9?·3003??1?????10???300???32应变能

MlU?t?2GIp2?1?32?491.8J 4??250??104?122?8?10???300??1?????10???300????180?10?3.20 如图3.15，全长为l，两端面直径分别为d1、d2的圆锥形杆，在其两端各受一矩为T的集中力偶作用，试求杆的总扭转角。

T d2 d1 T l 图3.15

[解] 设在距d1端（细端）x处（0?x?l）的任意截面的直径为d，按几何关系求得

?d2?d1x?d?d1????1?d? l1??这横截面的极惯性矩为

d2?d1x??Ip??1??? ??3232?d1l?同一横截面上的扭矩Mt?T，由单位长度扭转角公式可知：

?d4?d14?4d?Mt??dxGIp32T?d2?d1x?G?d14????1?dl?1??4

则杆的总扭转角为

32T??G?d142?32Tl?d12?d1d2?d2?? ?33?0?d?dx?43?G??d1d2??21??1???d1l???ldx3.21如图3.15，一端固定的圆截面杆AB，承受集度为t的均布外力偶作用，试求杆内积蓄的变形能。

A t l d B 图3.15

[解] 作用在距自由端为x的任意横截面的扭矩为Mt?x??tx。设微段dx的扭转角为

dφ，则

d??应变能为

Mt?x?dx

GIp1T2?x?dU?T?x?d??dx 22GIp故整个杆积蓄的应变能为