第三章剪切和扭转

τ 1 τ2 τ1 τ3 2 τ τ2 3 ??0 ?1??0 ?2? ? ?3?22 （a）

图3.19

（b）

（2）对于内棱角处有无切应力的判断，同样可以应用平形四边形法则。如图3.19 (b)所示，切应力的两个分量?2、?3分别垂直于对应的周边2和周边3，根据切应力互等定理，?2、?3分别与

?互等，而杆的纵截面不是自由表面，其上可以有切应力，所以，内棱?、?3杆的纵截面上的剪应力?2角处可以有切应力。

3.28 图3.20示一个T形薄壁截面杆，其长度l＝2m，在两端受扭转力偶的作用，材料

10 120 10 图3.20

的剪切弹性模量G?8?10MPa，杆横截面上的扭矩为

120 4T?0.2kN?m，试求此杆在自由扭转时的最大切应力及扭转

角。

[解] T形薄壁截面可视为二狭长矩形截面的组合，T形截面的相当极惯性矩可用

13?3ht表示，最大切应力发生在二

狭长矩形截面的长边上，其值为

?max?Mttmax3T3?0.2?1000???25MPa22?9132ht2?120?10?10hiti?3杆两端面的相对扭转角为

Mtl3?0.2?103?2????0.0543rad?3.11? 103?12138?10?1.15?120?10?10?2G??hiti3??3.29 图3.21示矩形截面钢杆受矩为T?3kN?m的一对外力偶作用，已知材料的剪切弹性模

量G?8?10MPa，求：

（1）杆内最大切应力的大小、位置和方向。 （2）横截面短边中点处的切应力。

（3）单位杆长的扭转角。

4τmax T T 60 τ Mt 90 60 90

图3.21

图（a）

[解] （1）最大切应力发生在长边中点，平行于边界和扭矩反向，如图3.21（a）所示。

?max?m?所以

Mt3 ，Mt?T ，Wt??b， Wth?1.5，查表得??0.294、??0.346和??0.858 b?maxMt3?103???40.1MPa ?b30.346?603?10?9（2）短边中点处的切应力则为该边各点的切应力中最大值，即

????max

故

??0.858?40.1?34.4MPa

4（3）由 It??b，??Mt知 GIt3?103?3????9.842?10rad/m?0.56/m 104?128?10?0.294?60?10