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第十一章 无穷级数
教学目的：
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。
3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10．掌握e,sinx,cosx，ln(1?x)和(1?a)的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函
x?数间接展开成幂级数。
11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ：
1、级数的基本性质及收敛的必要条件。
2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法；
4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；
5、e,sinx,cosx，ln(1?x)和(1?a)的麦克劳林展开式；
x? 6、傅里叶级数。 教学难点：
1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法；
3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数；
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5、泰勒级数；
6、傅里叶级数的狄利克雷定理。
§11. 1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 常数项级数: 给定一个数列 u1, u2, u3, × × ×, un, × × ×, 则由这数列构成的表达式
u1 + u2 + u3 + × × ×+ un + × × ×
叫做常数项)无穷级数, 简称常数项)级数, 记为?un, 即
n?1??
n?1?un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ,
其中第n项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数?un的前n项和
n?1n? sn??ui?u1?u2?u3? ? ? ? ?un
i?1称为级数?un的部分和.
n?1?? 级数敛散性定义: 如果级数?un的部分和数列{sn}有极限s, 即limsn?s,
n?1n??则称无穷级数?un收敛, 这时极限s叫做这级数的和,
n?1?并写成
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s??un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ;
n?1?如果{sn}没有极限, 则称无穷级数?un发散.
n?1??? 余项: 当级数?un收敛时, 其部分和s n是级数?un的和s的近似值, 它们之间的差值
n?1n?1 rn=s-sn=un+1+un+2+ 叫做级数?un的余项.
n?1?
例1 讨论等比级数(几何级数)
n?0?aqn?a?aq?aq2? ? ? ? ?aqn? ? ? ?
0, q叫做级数的公比.
??的敛散性, 其中a 例1 讨论等比级数?aqn(a0)的敛散性.
n?0 解 如果q1, 则部分和 sn?a?aq?aq? ? ? ? ?aq2n?1a?aqnaqna???. 1?q1?q1?q?aa.
当|q|<1时, 因为limsn?, 所以此时级数?aqn收敛, 其和为
1?q1?qn??n?0? 当|q|>1时, 因为limsn??, 所以此时级数?aqn发散.
n??n?0 如果|q|=1, 则当q=1时, sn =na, 因此级数?aqn发散;
n?0?精品
.
当q=-1时, 级数??aqn成为
n?0 a-a+a-a+ ,
时|q|=1时, 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零, 所以s?n的极限不存在, 从而这时级数?aqn也发散.
n?0 综上所述, 如果|q|<1, 则级数??aqn收敛, 其和为a; 如果|n?01?qq| 仅当|q|<1时, 几何级数??aqna0)收敛, 其和为
an?01?q.
例2 证明级数 1+2+3+ +n+
是发散的.
证 此级数的部分和为 s1)n?1?2?3? ? ? ? ?n?n(n?2. 显然, nlim??sn??, 因此所给级数是发散的. 例3 判别无穷级数
11?2?12?3?13?4? ? ? ? ?1n(n?1)? ? ? ? 的收敛性. 解 由于 un?1n(n?1)?1n?1n?1,
因此 sn?11?2?12?3?13?4? ? ? ? ?1n(n?1) ?(1?1)?(1?1)? ? ? ? 11223?(n?n?1)?1?1n?1 精品
1, 则级数??aqn发散. n?0 .
从而
limsn?lim(1?n??n??1)?1, n?1所以这级数收敛, 它的和是1. 例3 判别无穷级数? 解 因为 sn?1的收敛性. n?1n(n?1)?1?1?1? ? ? ? ?1 1?22?33?4n(n?1) ?(1?)?(?)? ? ? ? ?(?从而
limsn?lim(1?n??n??12112311)?1?1, nn?1n?11)?1,
n?1所以这级数收敛, 它的和是1. 提示: un?
二、收敛级数的基本性质
性质1 如果级数?un收敛于和s, 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数?kun也收敛,
n?1n?1??1?1?1. n(n?1)nn?1且其和为ks.
性质1 如果级数?un收敛于和s, 则级数?kun也收敛, 且其和为ks.
n?1n?1???? 性质1 如果?un?s, 则?kun?ks.
n?1n?1 这是因为, 设?un与?kun的部分和分别为sn与
n?1n?1??n, 则
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