同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章 无穷级数

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因为limsn?lim[1?n??n???1]?1 (n?1)p?11所以级数

n?2?[(n?1)p?1?np?1]收敛.

1 p-级数的收敛性: p-级数???n?11当p>1时收敛, 当p1时发散. np 例2 证明级数?n?11是发散的. n(n?1) 证 因为

11??1, n(n?1)(n?1)2n?1而级数??n?11?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? 是发散的, n?123n?1根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3(比较审敛法的极限形式) 设?un和?vn都是正项级数, 如果limn?1?n?1???un?l(0

n??vn则级数?un和级数?vn同时收敛或同时发散.

n?1n?1 定理3(比较审敛法的极限形式) 设?un和?vn都是正项级数,

n?1n?1??un?l(0l<+), 且级数?vn收敛 则级数?un收敛 (1)如果limn??vnn?1n?1??uu (2)如果limn?l?0或limn???n??vnn??vn 且级数?vn发散 则级数?un发散.

n?1??n?1精品

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定理3(比较审敛法的极限形式) 设un和Svn都是正项级数, (1)如果lim(un/vn)l(0l<+) (2)如果lim(un/vn)l(0l+)

证明 由极限的定义可知, 对??l, 存在自然数N, 当n>N时, 有不等式

且Svn收敛 则Sun收敛 且Svn发散 则Sun发散

12 l?l?12un?l?1l, 即1lvn?un?3lvn, vn222再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. 例3 判别级数?sinn?1?1的收敛性.

nsin1?n 解 因为 lim?1, 而级数?1发散,

n??1n?1nn根据比较审敛法的极限形式, 级数?sinn?1??1发散. n 例4 判别级数?ln(1?n?11)的收敛性. n2ln(1?12)?n?1, 而级数?12收敛, 解 因为 lim1n??n?1nn2根据比较审敛法的极限形式, 级数?ln(1?n?1?1)收敛. n2 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)

若正项级数?un的后项与前项之比值的极限等于r:

n?1?精品

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limun?1??,

n??unun?1??)时级数发散; 当r =1时级数可能收敛也可能发散.

n??un则当r<1时级数收敛; 当r>1(或lim 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数?un满足limn?1?un?1??, 则当r<1时级数收敛;

n??un当r>1(或limun?1??)时级数发散. 当r =1时级数可能收敛也可能发散.

n??un? 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)设?un为正项级数 如果

n?1un?1??n??unlim则当r<1时级数收敛; 当r>1(或lim

例5 证明级数1??是收敛的. 解 因为 lim

un?1??)时级数发散 当r =1时级数可能收敛也可能发散.

n??un11?1? ? ? ? ?1? ? ? ? 11?21?2?31?2?3 ? ? ? (n?1)un?11?2?3 ? ? ? (n?1)? lim? lim1?0?1,

n??unn??1?2?3 ? ? ? nn??n根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例6 判别级数

1?1?2?1?2?3? ? ? ? ?n !? ? ? ? 的收敛性.

1010210310n精品

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un?1(n?1)!10n? limn?1?? limn?1??, 解 因为 limn !n??10n??unn??10根据比值审敛法可知所给级数发散. 例7 判别级数

?(2n?1)?2n的收敛性.

n???1 解 limun?1(2n?1)?2n? lim?1.

n??unn??(2n?1)?(2n?2)这时r=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.

?11 因为?2, 而级数?12收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. (2n?1)?2nnn?1n?11 解 因为?2, 而级数?12收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. (2n?1)?2nnn?1n

提示: limun?1(2n?1)?2n? lim?1, 比值审敛法失效.

n??unn??(2n?1)?(2n?2)1 因为?12, 而级数(2n?1)?2nn

定理5(根值审敛法, 柯西判别法)

?n2收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. n?1?1 设?un是正项级数, 如果它的一般项un的n次根的极限等于r:

n?1? limnn??un??,

nn??则当r<1时级数收敛; 当r>1(或limun???)时级数发散; 当r=1时级数可能收敛也可能发散.

定理5(根值审敛法, 柯西判别法)

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若正项级数?un满足limn?1?nn??un??, 则当r<1时级数收敛;

当r>1(或limnn??un???)时级数发散. 当r=1时级数可能收敛也可能发散.

定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 设?un为正项级数, 如果

n?1? limnn??un??,

nn??则当r<1时级数收敛; 当r>1(或lim 例8 证明级数1?un???)时级数发散; 当r=1时级数可能收敛也可能发散.

1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? 是收敛的. 2233nn1? lim1?0,

nnn??n并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差. 解 因为 limnun? limnn??n??所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.

以这级数的部分和sn 近似代替和s所产生的误差为

111??? ? ? ? (n?1)n?1(n?2)n?2(n?3)n?3111 ???? ? ? ? + (n?1)n?1(n?1)n?2(n?1)n?3 |rn|? ?1. nn(n?1)?2?(?1)n 例6判定级数?的收敛性 n2n?1 解 因为

limnun?limn??1n2?(?1)n?12n??2

所以 根据根值审敛法知所给级数收敛 定理6(极限审敛法)

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