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高中数学第一章导数及其应用1-1导数的概念1-1-1导
数的概念平均变化率教学案苏教版选修2_2
假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标
系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅
游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)．问题1：若旅游者从A点爬到B点，则自变量x和函数值y的改
变量Δx，Δy分别是多少？
提示：Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0.
问题2：如何用Δx和Δy来刻画山路的陡峭程度？
提示：对于山坡AB，可用来近似刻画山路的陡峭程度．
问题3：试想＝的几何意义是什么？
提示：＝表示直线AB的斜率．
问题4：从A到B，从A到C，两者的相同吗？的值与山路的陡峭
程度有什么关系？
提示：不相同.的值越大，山路越陡峭．
1．一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.
2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭
程度是平均变化率的“视觉化”．
在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点：
(1)函数在[x1，x2]上有意义；
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(2)在式子中，x2－x1>0，而f(x2)－f(x1)的值可正、可负、可
为0.
(3)在平均变化率中，当x1取定值后，x2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x2取定值后，x1取不同的数
值时，函数的平均变化率也不一定相同．
求函数在某区间的平均变化率 [例1] (1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率；
(2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率． [思路点拨] 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率．
[精解详析] (1)函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为：
－
2.1－2
＝＝12.3.
(2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为＝
－
－2]－－－－－
－2]
＝＝3.
[一点通] 求函数平均变化率的步骤为： 第一步：求自变量的改变量x2－x1； 第二步：求函数值的改变量f(x2)－f(x1)； 第三步：求平均变化率.
1．函数g(x)＝－3x在[2,4]上的平均变化率是________． 解析：函数g(x)＝－3x在[2,4]上的平均变化率为＝＝＝－3.
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答案：－3
2.如图是函数y＝f(x)的图象，则：
(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.
x＋3??，－1≤x≤1，2(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝???x＋1，1 所以，函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝. 答案：：(1) (2)4 3．本例条件不变，分别计算f(x)与g(x)在区间[1,2]上的平均变化率，并比较变化率的大小． 解：(1)＝＝9. (2)＝＝3. 3 f(x)比g(x)在[1,2]上的平均变化率大． 实际问题中的平均变化率 [例2] 物体的运动方程为S＝(位移单位：m；时间单位：s)，求物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度． [思路点拨] 求物体在某段时间内的平均速度，就是求位移的改变量与时间的改变量的比值． [精解详析] 物体在[1,1＋Δt]内的平均速度为 ＋Δ－ ＋Δ－1 ＝＋Δ ＋1－1＋1 Δt ＝＝2＋Δt－2Δ 2＋Δt＋2 2＋Δt＋2 interesting. I also like playing soccer and basketball with my My name is Mary Green. My3 / 9
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