12B-SX-0000020 21．（12分）
已知点A(?2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为?12.记
M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂
足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：△PQG是直角三角形； （ii）求△PQG面积的最大值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则
- 9 -
按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，O为极点，点M(?0,?0)(?0?0)在曲线C:??4sin?上，
直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P. （1）当?0=
?
3
时，求?0及l的极坐标方程； （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
- 10 -
x?a|x?|x?2|(x?a). 1时，求不等式f(x)?0的解集； (??,1]时，f(x)?0，求a的取值范围.
- 11 -
12B-SX-0000020已知f(x)?|（1）当a?（2）若x?
- 12 -12B-SX-0000020
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 全国II卷 参考答案
1．A 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C
7．B
8．D
9．A
10．B
11．A 12．B 13．0.98 14．–3
15．6
3
16．26；2?1
17．解：（1）由已知得，B1C1?平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，
故B1C1?BE．
又BE?EC1，所以BE?平面EB1C1．
（2）由（1）知?BEB1?90?．由题设知Rt△ABE?Rt△A1B1E，所以
?AEB?45?，
故AE?AB，AA1?2AB．
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，|DA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
- 13 -
则C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），E（1，0，1），CE?(1,?1,1)CC1?(0,0,2)．
设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则
???CB?n?0,即???CE?n?0,?x?0,?x?y?z?0, 所以可取n=(0,?1,?1).
设平面ECC1的法向量为m=（x，y，z），则
???CC1?m?0,即???CE?m?0,?2z?0,?x?y?z?0. 所以可取m=（1，1，0）． 于是cos?n,m??n?m|n||m|??12．
- 14 -
，
12B-SX-0000020
所以，二面角B?EC?C31的正弦值为2．
18．解：（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球
均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为
[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1． 19．解：（1）由题设得4(an?1?bn?1)?2(an?bn)，即an?1?bn?1?12(an?bn)．
又因为a1+b1=l，所以
?an?bn?是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得4(an?1?bn?1)?4(an?bn)?8，
即an?1?bn?1?an?bn?2．
又因为a1–b1=l，所以
?an?bn?是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，a?b1nn?2n?1，an?bn?2n?1．
所以a111n?2[(an?bn)?(an?bn)]?2n?n?2，
b111n?2[(an?bn)?(an?bn)]?2n?n?2．
20．解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增．
因为f（e）=1?e?1e?1?0，f(e2)?2?e2?1e2?3e2?1?e2?1?0， - 15 -
所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0． 又0?1x?1，f(1)??lnx?x1?11??f(x1)?1xx0，
11?1故f（x）在（0，1）有唯一零点1x．
1综上，f（x）有且仅有两个零点．
（2）因为11x?e?lnx0，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex
上． 0x0由题设知f(x10)?0，即lnxx0?0?x?1， 011x故直线AB的斜率k?x?lnx0?10?0x?lnx?0x0?1?1． 0?x0?x0?1x?xx000?1曲线y=ex
在点B(?lnx10,x)处切线的斜率是1，曲线y?lnx在点0x0A(x10,lnx0)处切线的斜率也是x，
0所以曲线y?lnx在点A(xx
0,lnx0)处的切线也是曲线y=e的切线．
21．解：（1）由题设得yy1x2y2x?2?x?2??2，化简得4?2?1(|x|?2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为y?kx(k?0)．
- 16 -
相关推荐：
loading