2019年高考真题：坐标系与参数方程
?x?1?3t,1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l的参数方程为?（t为参数），则点（1，0）到直线l
y?2?4t?的距离是 A．
1 5B．
2 5C．
4 5D．
6 5【答案】D
【解析】由题意，可将直线l化为普通方程：所以点（1，0）到直线l的距离d?x?1y?21??3?，即4?x?346?，故选D． 5??0??y23y?20?，，即4x?|4?0?2|42?32【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．
?1?t2x?，?2?1?t2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（t为参数）．以?y?4t?1?t2?坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2?cos??3?sin??11?0．
（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．
y2【答案】（1）x??1(x??1)；l的直角坐标方程为2x?3y?11?0；（2）7．
421?t4t2?y??1?t?2?1，且x?????【解析】（1）因为?1???1，所以C的直角坐标方程为2?221?t221?t?????1?t?y2x??1(x??1)．
422222l的直角坐标方程为2x?3y?11?0．
（2）由（1）可设C的参数方程为??x?cos?,（?为参数，?π???π）．
y?2sin??π??4cos?????11|2cos??23sin??11|3???C上的点到l的距离为．
77当???π?2π?时，4cos?????11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7．
3?3?【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．
3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点M(?0,?0)(?0?0)在曲线C:??4sin?上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P． （1）当?0=
?
时，求?0及l的极坐标方程； 3
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）?0?23，l的极坐标方程为?cos?????????2； 3?（2）??4cos?,???,?．
42【解析】（1）因为M??0,?0?在C上，当?0?由已知得|OP|?|OA|cos????????时，?0?4sin?23． 33??2． 3??????|OP|?2， 3?设Q(?,?)为l上除P的任意一点．在Rt△OPQ中，?cos???经检验，点P(2,)在曲线?cos????3??????2上． 3?所以，l的极坐标方程为?cos?????????2． 3?（2）设P(?,?)，在Rt△OAP中，|OP|?|OA|cos??4cos?, 即 ??4cos?． 因为P在线段OM上，且AP?OM，故?的取值范围是?,?．
42??????所以，P点轨迹的极坐标方程为??4cos?,???,?．
42【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型． 4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,)，C(2,???????4??)，D(2,?)，4弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,?)，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD．
（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|??23，求P的极坐标．
【答案】（1）M1的极坐标方程为??2cos??0?????π??，M2的极坐标方程为4???2sin?????（2）?3,?π?43π??3π????2cos????πM，的极坐标方程为3???．
4??4???π??π??2π??5π?3,3,3,或或或???????．
6??3??3??6?【解析】（1）由题设可得，弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为??2cos?，??2sin?，
???2cos?．
所以M1的极坐标方程为??2cos??0?????π?3π??πM??2sin????，的极坐标方程为2???，M3
4?44??的极坐标方程为???2cos???3π????π?． ?4?（2）设P(?,?)，由题设及（1）知
ππ，则2cos??3，解得??； 46π3ππ2π若???，则2sin??3，解得??或??； 4433若0???若
3π5π． ???π，则?2cos??3，解得??46??π??π??2π??5π?或或或3,3,3,???????． 6??3??3??6?综上，P的极坐标为?3,【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题． 5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点A?3,???????,B2,???，直线l的方程为4??2??sin?????3．
4?（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离． 【答案】（1）5；（2）2．
????【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3，
??），B（2，）， 42???)?5． 24由余弦定理，得AB=32?(2)2?2?3?2?cos(（2）因为直线l的方程为?sin(??)?3，
?4则直线l过点(32,)，倾斜角为
?23?． 43???)?2． 42又B(2,)，所以点B到直线l的距离为(32?2)?sin(?2【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．
6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参
??x?5?10cos?(?为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲数方程为???y?10sin?线C2的极坐标方程为??4cos?．
（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；
（2）若直线l的极坐标方程为?sin(??)?22，直线l与y轴的交点为M，与曲线C1相交于A,B?4两点，求MA?MB的值． 【答案】（1）?cos??5；（2）92 222【解析】（1）曲线C1的普通方程为：(x?5)?y?10，
曲线C2的普通方程为：x?y?4x，即(x?2)?y?4， 由两圆心的距离d?3?(10?2,10?2)，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线为?6x?21?5，即x?所以直线的极坐标方程为?cos??22225． 25． 2（2）直线l的直角坐标方程：x?y?4，则与y轴的交点为M(0,4)，
?2x??t??222直线l的参数方程为?，带入曲线C1(x?5)?y?10得t2?92t?31?0．
?y?4?2t??2设A,B两点的参数为t1，t2，
所以t1?t2??92，t1t2?31，所以t1，t2同号． 所以MA?MB?t1?t2?t1?t2?92
【名师点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题． 7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数
??x?3cos?方程为?（α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M
y?sin???的极坐标为?22,??3??????sin??l，直线的极坐标方程为????22?0．
44???（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．
x272【答案】（1）x?y?4?0，． ?y2?1；（2）
32【解析】（1）因为直线l的极坐标方程为?sin?????π???22?0， 4?
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