2020年高考数学(理)大题分解专题05 解析几何

精品文档666 专题05 解析几何

大题肢解一

直线与抛物线

（2019年全国卷I）已知抛物线C：y?3x的焦点为F，斜率为与x轴的交点为P．

（1）若|AF|?|BF|?4，求l的方程；

23的直线l与C的交点为A，B，2uuuruuur（2）若AP?3PB，求|AB|．

【肢解1】若|AF|?|BF|?4，求l的方程；

uuuruuur【肢解2】若AP?3PB，求|AB|．

【肢解1】若|AF|?|BF|?4，求l的方程；

【解析】设直线l方程为

y?3x?m2，A?x1,y1?，B?x2,y2?，

35?4，所以x1?x2?， 22由抛物线焦半径公式可知AF?BF?x1?x2?3??y?x?m22联立?得9x?12(m?12)x?4m?0， 22??y?3x1， 2712m?125所以x1?x2???，解得m??，

892由??(12m?12)?144m?0得m?22所以直线l的方程为y?37x?，即12x?8y?7?0. 28uuuruuur【肢解2】若AP?3PB，求|AB|．

精品文档666 【解析】设直线l方程为x?2y?t， 32?x?y?t1?2y?2y?3t?0联立?得，由得， t????4?12t?0332?y?3x?由韦达定理知y1?y2?2，

因为AP?3PB，所以y1??3y2，所以y2??1，y1?3，所以t?1，y1y2??3. 则|AB|?1?

44413?(y1?y2)2?4y1y2?1??22?4?(?3)?.

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设抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，过点F的而直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.

弦长的计算方法：求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．

温馨提示：注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．

2

【拓展1】已知抛物线C：y?3x的焦点为F，斜率为为P．若|AF|?|BF|?23的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点27，求l在y轴上的截距. 2y?3x?m2，A?x1,y1?，B?x2,y2?，

37?，所以x1?x2?2， 22【解析】设直线l方程为

由抛物线焦半径公式可知AF?BF?x1?x2?3??y?x?m22联立?得9x?12(m?12)x?4m?0， 22??y?3x由??(12m?12)?144m?0得m?221， 2精品文档666 112m?12?2，解得m??，

29131所以直线l的方程为y?x?，令x?0得y??，

222所以x1?x2??所以直线l在y轴上的截距为?21. 23的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点2【拓展2】已知抛物线C：y?3x的焦点为F，斜率为

uuuruuur为P．若AP?2PB，M(?4,0)，求?ABM的面积．

【解析】设直线l方程为x?2y?t， 32?1?x?y?t2联立?得y?2y?3t?0，由??4?12t?0得t??， 332?y?3x?由韦达定理知y1?y2?2，y1y2??3t，

因为AP?2PB，所以y1??2y2，所以y2??2，y1?4，所以y1y2??8.t??所以|AB|?1?8， 344?(y1?y2)2?4y1y2?1??22?4?(?8)?213， 99直线l方程为x?|?12?8|428?， y?，即3x?2y?8?0，所以点M(?4,0)到l的距离d?331313114|AB|?d??213??4． 2213所以?ABM的面积为

变式训练一

1.（2019年山西太原一模)已知抛物线y?4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若?AOB的面积为6，求|AB|.

【解析】由题意知抛物线y?4x的焦点F的坐标为(1,0)， 易知当直线AB垂直于x轴时，?AOB的面积为2，不满足题意， 所以可设直线AB的方程为y?k(x?1)(k?0)， 与y?4x联立，消去x得ky?4y?4k?0， 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理知y1?y2?22224，y1y2??4， k