2012年北京市中考数学二模分类汇编——几何综合
与中点有关的问题
1.(昌平24) 如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形，M、N分
别是CE、CF的中点. （1）求证：△DMN是等边三角形；
（2）连接EF，Q是EF中点，CP⊥EF于点P. 求证：DP＝DQ.
同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面 两位同学的解题思路作为参考：
小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造 三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要
证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.
24. 证明：（1）取AC的中点G，连接NG、DG.
∴DG＝
12ADFNMCBEBC，DG∥BC；△NGC是等边三角形.
∴NG = NC，DG = CM. …………………2分 ∵∠1 + ∠2 = 180o， ∴∠NGD + ∠2 = 240o. ∵∠2 + ∠3 = 240o， ∴∠NGD =∠3.
∴△NGD≌△NCM . ……………………3分 ∴ND = NM ，∠GND =∠CNM. ∴∠DNM =∠GNC = 60o.
∴△DMN是等边三角形.………………………………4分 （2）连接QN、PM.
∴QN =
12AGFNC132MEDBCE= PM. ……………………5分
FN78Rt△CPE中，PM =EM，∴∠4= ∠5. ∵MN∥EF，∴∠5= ∠6，∠7= ∠8. ∵NQ∥CE，∴∠7= ∠4. ∴∠6= ∠8.
∴∠QND= ∠PMD. ………………………6分 ∴△QND≌△PMD.
∴DQ= DP. ……………………7分
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QP564ECADMB2.（丰台24）在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP．过
点P作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F．
（1）如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论； （2）如图2，当AB?AC，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．
AAFEEPFPBDCBDC图1 图2
24．解：（1）DE=DF．……1分
（2）DE=DF不发生改变．……2分
理由如下：分别取BP、CP的中点M、N，联结EM、DM、FN、DN．
∵D为BC的中点，∴DN? ∵PE?AB,∴EM?BM?1212BP,DN//BP．……3分
AFEP657231BP．
MN4 ∴DN?EM,?1??2．∴?3??1??2?2?1．…4分
BDC 同理DM?FN,?5?2?4,MD//PC．∴四边形MDNP为平行四边形．……5分
∴?6??7 ∵?1??4,∴?3??5． ∴?EMD??DNF．……6分 ∴△EMD≌△DNF． ∴DE=DF．……7分 3.(海淀25.)在矩形ABCD中, 点F在AD延长线上，且DF= DC, M为AB边上一点, N为MD的中点, 点E在直线CF上（点E、C不重合）.
（1）如图1, 若AB=BC, 点M、A重合, E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及
CEBM的值, 并证明你的结论;
（2）如图2，且若AB=BC, 点M、A不重合, BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;
（3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论. B C C B
E B E
M M N D A F A(F M ) N D A
图1 图2 图3
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E C
N D F
25. 解：（1）BN与NE的位置关系是BN⊥NE；CE=BM22.
证明：如图，过点E作EG⊥AF于G, 则∠EGN=90°．
∵ 矩形ABCD中, AB=BC， ∴ 矩形ABCD为正方形.
∴ AB =AD =CD, ∠A=∠ADC =∠DCB =90°． ∴ EG//CD, ∠EGN =∠A, ∠CDF =90°．……………1分 ∵ E为CF的中点，EG//CD, ∴ GF=DG =DF?2112BCCD.
2E∴ GE?12CD.
A(M)3N1DGF∵ N为MD(AD)的中点， ∴ AN=ND=
12AD?12CD.
∴ GE=AN, NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB. ………2分 ∴ △NGE≌△BAN． ∴ ∠1=∠2. ∵ ∠2+∠3=90°， ∴ ∠1+∠3=90°． ∴ ∠BNE =90°.
∴ BN⊥NE． ……………………………3分 ∵ ∠CDF =90°, CD=DF, 可得 ∠F =∠FCD =45°，
1CFCD=2. .
于是
CF2====BMBACDCDCECECE22. …………4分
（2）在（1）中得到的两个结论均成立.
证明：如图，延长BN交CD的延长线于点G，连结BE、GE，过E作EH⊥CE，
交CD于点H．
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB∥CG．
∴ ∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN. ∵ N为MD的中点， ∴ MN=DN． ∴ △BMN≌△GDN． ∴ MB=DG，BN=GN. ∵ BN=NE，
GBCEMNADFH∴ BN=NE=GN. ∴ ∠BEG=90°． ……………5分 ∵ EH⊥CE， ∴ ∠CEH =90°． ∴ ∠BEG=∠CEH．
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∴ ∠BEC=∠GEH．
由（1）得∠DCF =45°． ∴ ∠CHE=∠HCE =45°． ∴ EC=EH, ∠EHG =135°．
∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°， ∴ ∠ECB =∠EHG． ∴ △ECB≌△EHG． ∴ EB=EG，CB=HG． ∵ BN=NG，
∴ BN⊥NE. ……………………6分
∵ BM =DG= HG-HD= BC-HD =CD-HD =CH=2CE， ∴
（3）BN⊥NE；
CEBMCEBM=22. ……………………7分
22不一定等于. ……………………8分
密云25．已知菱形ABCD的边长为1，?ADC?60?，等边△AEF两边分别交
DC、CB于点E、F．
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角
线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出值．
25．（本小题满分8分）
证明：（1）如图1：分别连结OE、OF． ∵四边形ABCD是菱形，
?AD?DC?CB，AC?BD，DO?BO，
1?且?1??2??ADC?30．
21DM?1DN的
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