20．（2018?铜仁市）如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E． （1）求证：DF⊥AC； （2）求tan∠E的值．
（1）证明：如图，连接OC， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°， ∴CD⊥AB， ∵AC=BC， ∴AD=BD， ∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位线 ∴OD∥AC，
∵DF为⊙O的切线， ∴OD⊥DF， ∴DF⊥AC；
（2）解：如图，连接BG， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BGC=90°， ∵∠EFC=90°=∠BGC， ∴EF∥BG， ∴∠CBG=∠E，
Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5， ∴CD=4， S△ABC=6×4=5BG，
，
BG=，
=，
由勾股定理得：CG=
∴tan∠CBG=tan∠E===．
21．（2018?安顺）如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．
（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；
（2）若cos∠ABC=，AB=12，求半圆O所在圆的半径．
解：（1）如图，作OE⊥AB于E，连接OD，OA， ∵AB=AC，点O是BC的中点， ∴∠CAO=∠BAO， ∵AC与半圆O相切于D， ∴OD⊥AC， ∵OE⊥AB， ∴OD=OE，
∵AB径半圆O的半径的外端点， ∴AB是半圆O所在圆的切线； （2）∵AB=AC，O是BC的中点， ∴AO⊥BC，
在Rt△AOB中，OB=AB?cos∠ABC=12×=8，
根据勾股定理得，OA==4，
由三角形的面积得，S△AOB=AB?OE=OB?OA， ∴OE=
=
，
．
即：半圆O所在圆的半径为
22．AB═2，AD=（2018?贵阳）如图，在矩形ABCD中，
P是BC边上的一点，，且BP=2CP．
（1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图②，在（1）的条件下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）
解：（1）依题意作出图形如图①所示， （2）EB是平分∠AEC，理由： ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD=∵点E是CD的中点， ∴DE=CE=CD=1， 在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE， ∴∠AED=∠BEC，
， ，
在Rt△ADE中，AD=∴tan∠AED=∴∠AED=60°， ∴∠BCE=∠AED=60°，
=
，
，DE=1，
∴∠AEB=180°﹣∠AED﹣∠BEC=60°=∠BEC， ∴BE平分∠AEC； （3）∵BP=2CP，BC=∴CP=
，BP=
，
=
，
，
在Rt△CEP中，tan∠CEP=∴∠CEP=30°， ∴∠BEP=30°， ∴∠AEP=90°， ∵CD∥AB， ∴∠F=∠CEP=30°， 在Rt△ABP中，tan∠BAP=∴∠PAB=30°，
∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB， ∵CB⊥AF， ∴AP=FP，
∴△AEP≌△FBP，
=，
∴△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，
变换的方法为：将△BPF绕点B顺时针旋转120°和△EPA重合，①沿PF折叠，②沿AE折叠．
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