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(4)拱脚位移
拱脚的最终转角?a和水平位移ua可分别考虑X1,X2和外荷载的影响，按叠加原理求得，可表示为：
0?a?X1?1?X2(?2?f?1)??apua?X1u1?X2(u2?fu1)?u0ap （6.3.8）
6.3.4拱圈截面内力
将式（6.3.7）和（6.3.8）代入正则方程（6.3.1）可得：
0X1(?11??1)?X2(?12??2?f?1)?(?1p??ap)?0X1(?21?u1?f?1)?X2(?22?u2?fu1?f?2?f?1)?(?2p?f?令
20ap?u)?00ap （6.3.9）
a11??11??1a22??22?u2?fu1?f?2?f2?1a12?a21??12??2?f?1??21?u1?f?1 （6.3.10）
0a10??1p??ap00a20??2p?f?ap?uap则（6.3.9）式可简写为：
a11X1?a12X2?a10?0a21X1?a22X2?a20?0解此二元一次方程组，可得多余未知力为：
（6.3.11）
X1?a22a10?a12a202a12?a11a22aa?a12a10X2?11220a12?a11a22则任意截面i处的内力（如图6-9）为：
（6.3.12）
0Mi?X1?X2yi?MipNi?X2cos?i?N000ip （6.3.13）
式中：Mip和Nip是基本结构因外荷载作用在任一截面i处产生的弯矩和剪力；yi是截面i的纵坐标；?i是截面i与垂直线之间的夹角。
求出截面弯矩和轴力后，即可绘出内力图，如图6.3.8所示，并确定出危险截面。
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yx图6.3.7 图6.3.8
上述计算是将拱圈视为自由变形得到的计算结果。由于没有考虑弹性抗力，所以弯矩是比较大的，因此截面也较厚。如果围岩较坚硬，或者拱的形状较尖，则可能有弹性抗力。衬砌背后的密实回填是提供弹性抗力的必要条件，但是拱部的回填相当困难，不容易做到密实。仅在起拱线以上1～1.5m范围内的超挖部分，由于是用与拱圈同级的混凝土回填的，可以做到密实以外，其余部分的回填则比较松散，不能有效地提供弹性抗力。拱脚处无径向位移，故弹性抗力为零，最大值在上述的1～1.5m处，中间的分布规律较复杂，为简化计算可以假定为按直线分布。考虑弹性抗力的拱圈计算，可参考曲墙式衬砌进行。
6.4 曲墙式衬砌计算
在衬砌承受较大的垂直方向和水平方向的围岩压力时，常常采用曲墙式衬砌型式。它由拱圈、曲边墙和底板组成，有向上的底部压力时设仰拱。曲墙式衬砌常用于I～III类围岩中，拱圈和曲边墙作为一个整体按无铰拱计算，施工时仰拱是在无铰拱业已受力之后修建的，所以一般不考虑仰拱对衬砌内力的影响。 6.4.1计算图式
在主动荷载作用不，顶部衬砌向隧道内变形而形成脱离区，两侧衬砌向围岩方向变形，引起围岩对衬砌的被动弹性抗力，形成抗力区。抗力图形分布规律按结构变形特征作以下假定（见图6.4.1）：
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图6.4.1 按结构变形特征的抗力图形分布
?1、 上零点b（即脱离区与抗力区的分界点）与衬砌垂直对称中线的夹角假定为?b?45。
2、 下零点a在墙脚。墙脚处摩擦力很大，无水平位移，故弹性抗力为零。 3、 最大抗力点h假定发生在最大跨度处附近，计算时一般取ah?2ab，为简化计算可假3定在分段的接缝上。
4、 抗力图形的分布按以下假定计算：
拱部bh段抗力按二次抛物线分布，任一点的抗力?i与最大抗力?h的关系为：
cos2?b?cos2?i?i??h （6.4.1） 22cos?b?cos?h边墙ha段的抗力为：
???h （6.4.2） ??'式中： ?i,?b,?h分别为i、b、h点所在截面与垂直对称轴的夹角；yi为i点所在截面与衬砌
????外轮廓线的交点至最大抗力点h的距离；yh为墙底外缘至最大抗力点h的垂直距离。
ha段边墙外缘一般都作成直线形，且比较厚，因刚度较大，故抗力分布也可假定为与高度呈直线关系。若ha段的一部分外缘为直线形，则可将其分为两部分分别计算，即曲边墙段按式（6.4.2）计算，直边墙段按直线关系计算。
两侧衬砌向围岩方向的变形引起弹性抗力，同时也引起摩擦力si；，其大小等于弹性抗力和衬砌与围岩间的磨察系数的乘积：
'??y'i?i??1??'?y???h2si???i （6.4.3）
计算表明，磨察力影响很小，可以忽略不计，而忽略磨察力的影响是偏于安全的。墙脚弹性
地固定在地基上，可以发生转动和垂直位移。如前所述，在结构和荷载均对称时，垂直位移对衬砌内力不产生影响。因此，若不考虑仰拱的作用，可将计算简图表示为图6-12的形式。
图6.4.2 图6.4.3
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6.4.2主动荷载作用下的力法方程和衬砌内力
取基本结构如图6-13所示，未知力为X1p、X2p，根据拱顶截面相对变位为零的条件，可以列出力法方程式：
X1p?11?X2p?12??1p??ap?0X1p?21?X2p?22??2p?f?ap?uap?0 （6.4.4）
式中?ap,uap为墙底位移。分别计算X1p,X2p和外荷载的影响，然后按照叠加原理相加得到：
0 （6.4.5） ?ap?X1p?1?X2p(?2?f?1)??ap由于墙底无水平位移，故uap?0，代入式（6-17）整理可得：
X1p(?11??1)?X2p(?12?f?1)??1p??ap?0X1p(?21?f?1)?X2p(?22?f2?1)??2p?f?ap?00 （6.4.6）
式中：?ik,?ip是基本结构的单位位移和主动荷载位移，可由式（6.3.2）求得；?1是墙底单位转角，可参照式（6.3.5）计算；?ap为基本结构墙底的荷载转角，可参照式（6.3.7）计算；f为衬砌的矢高。
求得X1p,X2p后，在主动荷载作用下，衬砌内力即可参照式（6.3.13）计算：
0Mip?X1p?X2pyi?MipNip?X2pcos?i?N0ip （6.4.7）
在具体进行计算时，还需进一步确定被动抗力?h的大小，这需要利用最大抗力点h处的变形协调条件。在主动荷载作用下，通过式（6.4.7）可解出内力Mip,Nip，并求出h点的位移?hp，如图6.4.4（b）。在被动荷载作用下的内力和位移，可以通过?h?1的单位弹性抗力图形作为外荷载时所求得的任一截面内力Mi?,Ni?和最大抗力点h处的位移?h?，如图6.4.4（c），并利用叠加原理求出h点的最终位移：
?h??hp??h?h? （6.4.8）
由温克尔假定可以得到h点的弹性抗力于位移的关系：?h?k?h，代入（6.4.8）式可得：
?h? k?hp1?k?h? （6.4.9）
图6.4.4
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