装 订 线
庆云第一中学课堂导学案
（设计者：于长田 审核者：刘晓莉）
年级 高二 学科 数学 编号 x（2-1）44日期 2015-12-02 班级 姓名 3.1.2空间向量基本定理
一．学习目标：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向
量基本定理的证明。
二．自学指导：阅读课本P82—P84页注意下面问题。
1.共线向量定理： 2.共面向量： 3.共面向量定理： 4.空间向量分解定理： 三．知识应用
例1在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB= a，AD=b，AA1=c，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ：QA1=4：1， 用基底{a、b、c}表示以下向量： A1 D1
（1）AP，（2）AN，（3）AQ
N B1 Q C1 P M A D O B C
练习：1.已知平行六面体ABCD—A，AD=b，AA?????1B1C1D1，设，AB= a1=c用基底?a,b,c?表示
如下向量 ： (1) ???AC?,????AB??????????????1,A1D,DC1 (2)AG (G是侧面CC1D1D的中心)
2.已知空间四边形OABC中，M,N分别是对边OA,BC的中点，点G在MN上，且MG=2GN.设???OA=??a?,
???OB???b?, ???OC???c?,试用基底??a?,b??,?c?表示???OG?
例2.已知向量a=e1－2e2+3e3，b=2e1+e2，c=6e1－2e2+6e3， 判断a+b与c能否共面或共线？c－3b与b－2a能否共面或共线？
3 . 已知?a??i?2?j??k?, ?b???i?3?j?2??k , ?c?-3?i?7?j 证明这三个向量共面。
4.已知三个向量?a，b?，?c不共面，并且?p??a??b???c，?q???2a??3?b?5?c，?r??7?a?18b??22?c，向
量?p?，?q，?r是否共面？
例3.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点，且
???PM=2MC,PN=ND?????????????求满足????MN=x????AB??yAD?????zAP????的实数x,y,z的值。
5 已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1
（1）化简1????2AA????2????1?BC?3AB并在图上标出其结果。（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面
BCC3?????????????????1B1对角线BC1上的4分点，设MN??AB??AD??AA1试求?,?,?的值。
练习巩固：
1．“a＝xb”是“向量a、b共线”的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是
( ) A.AB→＋BC→＝AC→ B.AB→－BC→＝AC→ C.AB→＝BC→
D．|AB→|＝|BC→|
3．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是
A．a
B．b C．a＋2b
D．a＋2c
4．已知向量a、b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→
＝7a－2b，则一定共线的三点是 (
)
A．A、B、D
B．A、B、C C．B、C、D
D．A、C、D 5．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是
( )
A.OM→＝2→1→1→→1→1→1→5OA－5OB－5OC B.OM＝5OA＋3OB＋2OC
C.MA→＋MB→＋MC→＝0 D.OM→＋OA→＋OB→＋OC→
＝0
6．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由OP→＝1→2→→
5OA＋3OB＋λOC确定的一点P与A，
B，C三点共面，则λ＝________.
7．在以下3个命题中，真命题的个数是________．
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线．
③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb (λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底． 8．设e→e→→
1，e2是平面上不共线的向量，已知AB＝2e1＋k2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，试求实数k的值．
9.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝12
3BB1，DF＝3
DD1.
(1)证明：A、E、C(2)若EF→＝xAB→＋yAD→＋zAA→
1、F四点共面； 1，求x＋y＋z.
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庆云第一中学课堂导学案
（设计者：于长田 审核者：刘晓莉）
年级 高二 学科 数学 编号 x（2-1）43日期 2015-12-1 班级 姓名 3.1.1空间向量的线性运算 一．学习目标：
（1） 理解空间向量概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法 （2） 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律
（3） 能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。 二．自学指导：(类比平面向量的概念推广空间向量的概念)，阅读课本P79—P81页内容，并注意下面问题：1．向量的有关概念
(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ．
(3) 零向量： 的向量，记作 ；规定：零向量与任意向量共线。
(4) 向量?a的长度或模： 记作 (5) 向量的基线： .
（6）共线向量或平行向量： ，记作 注意：区别两直线平行及共线
2．空间向量的加法、减法和数乘向量的运算：
1）已知向量a?????OA?,b?????OB?， b?
a?
试画出a??b?及a??b?
2）数乘向量法则：怎样理解?a?与?a的关系？．
对?a?：当?>0时 ， 当?<0时 ， 当?=0时 平面向量的三角形法则、平行四边形法则及“封口向量”在空间向量仍然成立。 3．线性运算律
(1) 加法交换律：a＋b＝ ． 2) 加法结合律：(a＋b)＋
c＝ ． D1 C1 (3) 数乘分配律：?(a＋b)＝ ． A1 三．知识应用：
B1 例1．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并在图中
D C
标出A B
化简结果的向量。
（1）AB+AD+AA1 （2）DD1-AB+BC
（3）AB+AD+
12（DD1-BC） 从例题中得到什么结论,你是怎么理解的？
A 例2．M、N分别是四面体ABCD的棱AB、CD的中点，
M 求证：MN=12（AD+BC）
B
D
N C
巩固练习：
1．下列说法正确的是
( )
A．在平面内共线的向量在空间不一定共线B．在空间共线的向量在平面内不一定共线
C．在平面内共线的向量在空间一定不共线D．在空间共线的向量在平面内一定共线 2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO→＋OB→＝DO→＋OC→
，则四边形ABCD是
( )
A．空间四边形
B．平行四边形 C．等腰梯形
D．矩形
3．已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连接AM、AG、MG，则AB→＋1→→
2(BD＋BC)
等于
( )
A.AG→ B.CG→ C.BC→
D.1→2
BC
4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：
①(A→A→→→→→→－AB→)－2DD→→→→1D1－1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD1；④(B1D1＋A1A)＋DD1. 其中能够化简为向量BD→
1的是
( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
5．如图，空间四边形OABC，OA→＝a，OB→＝b，OC→
＝c，点M在 OA上，且OM＝2MA，N是BC的中点，则MN→
等于( ) A.12a－23b＋12c B．－23a＋12b＋12 C.12a＋12b－23c D.23a＋23b－12c
6．已知向量AB→，AC→，BC→满足|AB→|＝|AC→|＋|BC→
|，则
( )
A.AB→＝AC→＋BC→
B.AB→＝－AC→－BC→ C.AC→与BC→
同向
D.AC→与CB→
同向
7．化简：(AB→－CD→)－(AC→－BD→
)＝________.
8．在平行六面体ABCD—A→→→→
1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则B1M＝____________.
9.如图，设O为?ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点．若 AE→＝12OD→＋xOB→－3→
2OA，则x＝________.
10．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
1)写出分别与向量AB，AD，AA 1相等的向量。
D1C1 2)化简向量 ⑴???AB??????B?????????A1 1C1 ⑵.AB?A1D1 B1 ⑶.???AB?????CB?????AA??????????????D 1 ⑷.BA?BC?CC1 C
⑸.???AD?????CC??????A B 1?BA
A
11、已知空间四边形ABCD，连接AC,BD, 设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达式
D G B
M C
1）???AB?????BC?????CD?
2)???AB??1????????2(BD?BC)
3)???AD??12(???AB?????AC?)
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心，求下列各式中的x,y,z的值。（1）BD1=xAD+yAB+zAA1 (2)AE=xAD+yAB+zAA1
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