2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略讲义：5.2点、直线、平面之间的位置关系 Word版含解析

第2讲 点、直线、平面之间的位置关系

考点1 点、线、面的位置关系

判断空间点、线、面位置关系，主要依赖四个公理、平行关系和垂直关系的有关定义及定理，具体处理时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、线、面融入模型中，判断会简洁明了．如要否定一个结论，只需找到一个反例就可以．

[例1] (1)[2019·全国卷Ⅱ]设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )

A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 (2)

[2019·全国卷Ⅲ]如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )

A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

【解析】 (1)本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，意在考查考生的空间想象能力、逻辑思维能力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、直观想象．

对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B.

(2)本题主要考查空间线线位置关系，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．

取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，

所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足?3?233222为P，连接BP，则MP＝2，CP＝2，所以BM＝MP＋BP＝??＋?2??3?2??＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形?2?ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B. 【答案】 (1)B (2)B 判断空间位置关系的两种方法 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断． (2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定. 『对接训练』 1．[2019·浙江绍兴一中模拟]对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中为真命题的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n?α，则m∥n C．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 解析：对于A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对于B，直线m，n可能平行，也可能异面，故B错误；对于C，m与n垂直而非平行，故C错误；对于D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确． 答案：D 2. [2019·陕西西北工大附中调考]如图，四边形EFGH为四面体ABCDAEBFBG的一个截面，若CE＝FC＝GD，则与平面EFGH平行的直线有( ) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条

AEBF解析：∵CE＝FC，∴EF⊥AB.又EF?平面EFGH，AB?平面EFGH， BFBG∴AB∥平面EFGH.同理，由FC＝GD，可证CD∥平面EFGH.∴与平面EFGH平行的直线有2条．故选C. 答案：C 考点2 空间中平行、垂直关系 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b. (3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. [例2] [2019·全国卷Ⅱ]如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. (1)证明：BE⊥平面EB1C1； (2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积． 【解析】 本题考查了长方体的性质、直线与平面垂直的判定与性质和锥体的体积，考查了空间想象能力，主要体现了逻辑推理和直观想象的核心素养． (1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.

又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1. (2)由(1)知∠BEB1＝90°. 由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E， 所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°， 故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6. 作EF⊥BB1，垂足为F， 则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3. 1所以，四棱锥E－BB1C1C的体积V＝3×3×6×3＝18. 1．证明线线平行的4种常用方法 (1)利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行； (2)利用平行四边形进行平行转换； (3)利用三角形的中位线定理证线线平行； (4)利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换． 2．证明线线垂直的3种常用方法 (1)利用等腰三角形底边中线即高线的性质； (2)勾股定理； (3)线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a?α?l⊥a. 『对接训练』 3．[2019·陕西商洛质检]