如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点． (1)求三棱锥A－PDE的体积； (2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由． 解析：(1)因为PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PD⊥AD. 又因为ABCD是矩形， 所以AD⊥CD. 因为PD∩CD＝D. 所以AD⊥平面PCD， 所以AD是三棱锥A－PDE的高． 因为E为PC的中点，且PD＝DC＝4， ?11?1??＝4. ×4×4所以S△PDE＝2S△PDC＝2×2??118又AD＝2，所以VA－PDE＝3AD·S△PDE＝3×2×4＝3. (2)取AC中点M，连接EM，DM， 因为E为PC的中点，M是AC的中点， 所以EM∥PA. 又因为EM?平面EDM，PA?平面EDM， 所以PA∥平面EDM. 1所以AM＝2AC＝5. 即在AC边上存在一点M， 使得PA∥平面EDM，AM的长为5. 考点3 平面图形的折叠问题 1．画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图． 2．把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体的结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础．
3．准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是准确进行计算的基础． [例3] [2019·全国卷Ⅲ]图1是由矩形ADEB，Rt △ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. (1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求图2中的四边形ACGD的面积． 【解析】 本题考查了线面、面面垂直问题，通过翻折、平面与平面垂直的证明考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了直观想象的核心素养． (1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面． 由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，故AB⊥平面BCGE. 又因为AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)取CG的中点M，连接EM，DM. 因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE. 故DE⊥CG. 由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.又DM?平面DEM， 因此DM⊥CG. 在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝3，故DM＝2.
所以四边形ACGD的面积为4. 平面图形翻折问题的求解方法 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口． (2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形. 『对接训练』 4．[2019·湖南省湘东六校联考]如图，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABD′⊥平面ABC. (1)求证：AD′⊥平面BCD′； (2)当AB＝3，AD＝1时，求点B到平面AD′C的距离． 解析：(1)∵BC⊥AB，平面ABD′⊥平面ABC，平面ABD′∩平面ABC＝AB， ∴BC⊥平面ABD′， ∵AD′?平面ABD′， ∴BC⊥AD′， 又AD′⊥D′C，BC∩D′C＝C， ∴AD′⊥平面BCD′. (2)由(1)知AD′⊥平面BCD′，又BD′?平面BCD′， ∴AD′⊥BD′，从而BD′＝2， 设点B到平面AD′C的距离为h， 由V三棱锥B－AD′C＝V三棱锥C－AD′B， 11得3S△AD′C·h＝3S△AD′B·BC， 11116即3×2×1×3×h＝3×2×1×2×1，得h＝3， 6即点B到平面AD′C的距离为3. 考点4 空间线面关系的探究性问题
[例4] [2018·全国卷Ⅲ]如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点． (1)证明：平面AMD⊥平面BMC； (2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． 解析：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD. 因为BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD， 故BC⊥DM. 因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径， 所以DM⊥CM. 又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC. 而DM?平面AMD， 故平面AMD⊥平面BMC. (2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD. 证明如下：如图，连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点． 连接OP，因为P为AM中点， 所以MC∥OP. 又MC?平面PBD，OP?平面PBD， 所以MC∥平面PBD. 解决立体几何中探索性问题的基本方法 (1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立． (2)探索线段上是否存在满足题意的点时，注意三点共线条件的应用．
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