第六章 线性空间

在两个基下坐标有如下关系：

例⒋ ⑴证明下列多项式是（即次数次的多项式及零多项式构成的线性空间）的基： 其中是数域中个互不相同的数。

⑵在⑴中，取为全体次单位根，求由基到基的过渡矩阵。

⑴证：事实是上，若⑴则令代入⑴式由得。将分别代入⑴式由于必得故线性无关。故是一个基。

⑵由于

由基到基的过渡矩阵为

例⒌在中，求由基到基的过渡矩阵 解：的基，所以 将⑵代入⑶得

为所求过渡矩阵。 例⒍ 证明：数集关于数的加法与数的乘法构成有理数域上的线性空间，并求的一组基与维数。

证： 根据线性空间的定义，根据数的加法具有交换律、结合律。是中的零元。的负元素为。数的乘法对加法具有分配律，容易验证

故构成上的线性空间。 为求的基与维数，设 则

由于是有理数，是无理数 故 注意到是有理数，是无理数。

得从而线性无关。并且中的数都可由线性表示。这样是的一组基，从而维。 例⒎ 若以表示实系数多项式。试证 （吉林工业大学、华中师大） 是实数域上的线性空间。并求出它的一组基及维数。 证：记为实系数多项式全体，已知是上的线性空间。 即证是的子空间，从而是实数域上的线性空间。 再令

由于且次数

再证线性无关，令 得线性无关。 再对 那么 但是

此即可由线性表示

综上可知是的一组基，且维。

例⒏ 若，则对通常的加法和数乘，在复数域上（ ）维的。在实数域上是（ ）维的。

答：2；4。

在复数域上令；则线性无关。 则此即可由线性表示， 在实数域上 令 若 其中

此即线性无关。

可由线性表示，在实数域上，

例⒐ 设是定义在闭区间上所有实函数的集合，在上定义加法为：对为函数

定义实数乘函数为

⑴证明：是实数域上的向量空间；并指示什么函数是零向量；的负向量是什么函数；

⑵证明不是有限维向量空间。

证：⑴先证关于加法和数乘是封闭的那么和仍为定义在闭区间上的实函数， 下证加法满足四条公理： 规定零向量如下：

以下四条中，这里只证最后一条（其余同理可证） 再证数乘满足四条公理： 现以为例（其余同理可证） 故

综上所述，即证得是上的向量空间，零向量是零函数。即的负向量为 ⑵证明维即存在任意多个线性无关的向量，令

那么可证线性无关，由可任意大 维 即不是有限维实向量空间。

例⒑ 设是定义域实数集的所有实函数组成的集合，对于分别用下列式子定义 则成为实数域上的一个线性空间。 设

⑴判断是否线性相关，写出理由。

⑵用表示生成的子空间，判断是否为直和。（北京大学） 解： ⑴令即

分别代入上式得 解得

线性无关。 ⑵令

是直和。即是直和。

例⒒ 证明对于全体阶矩阵构成的线性空间，有其中分别是全体阶对称矩阵与反对称矩阵的线性空间。

证： 先证

虽然有 因为 而 故 故。 再证 故 而

例⒓ 设A、B、C、D都是数域上阶方阵，且关于乘法两两可交换，还满足AC+BD=E（E为阶单位矩阵）

设方程的解空间为与的解空间分别为，证明 证：⑴先证 此即 则此即即 ⑵再证

由⑴有故此即 故 ⑶证明

即的任意性。证得 故

例⒔ 设是数域上的矩阵是上矩阵是非奇异矩阵。证明：维线性空间是齐次线性方程组的解空间的解空间的直和。（山东大学“）

证：

仅有零解。即方程组仅有零解，此即 但秩秩（秩）

例⒕ 设都是的子空间。证明

证：已知只须证设对于任意的有且故使推出又故得而故故 例⒖设且

证明：关于通常矩阵的加法与数乘构成上的线性空间。并求的维数。 证：显然故是数域上三阶方阵所构成线性空间的一个非空子集。易证是的子空间 从而是上的一个线性空间。

另一方面，由计算得知的特征多项式为最小多项式为任取则 于是可见是的生成元。线性无关。故是线性空间的一个基。从而 例⒗ 设是线性空间的两个真子空间，证明：存在向量使同时成立。（的补充题4） 证：因为为非平凡子空间。故存在如果则命题得证。

如果但必另有如果则命题也得证。今设即有向量使得于是可证。 事实上，若，那么必定有这与假设矛盾。同理可证。则即为所求。 例⒘ 设是线性空间的个真子空间。证明中至少有一个2不属于中任何一个。（的补

充题5）（北京邮电学院）

证：对用数学归纳法

⑴当时，由上例得知，结论成立。

⑵假设时，命题成立。现证时，也成立。

由归纳假设须知中存在一个向量，如果则结论得证。 今设另外存在此时如果中任何一个，则结论也成立。因此不妨设于是有及

由上例知：对作同样的讨论。如果中任何一个，则结论成立。因此不妨设显然中任何一个，再对作上述讨论。如果中任何一个。则命题得证。不然又可设于是得如此继续下去，因子空间个数有限。故经有限步后可得所以对任意结论成立。

由⑴⑵得知，对任意命题成立。 例⒙ 和为直和，求证：证明其逆不成立。

证： 用反证法。其结论不成立。即不妨设则有此时有零向量表示法唯一。与

为直和矛盾。故结论成立。

任取平面上两两不共线的三个向量显然两两之交为0，但是它们的和显

然不是直和。

例⒚ 设是数域上的一个线性空间。

⑴若是的两个有限维子空间。证明维数公式：

⑵写出关于线性空间的个有限维子空间的相应维数公式，并给予证明。（福建师范大学） 证： ⑴见北大《高等代数》P265的定理7。

⑵线性空间的个有限子空间的相应的维数公式是 下面用数学归纳法证明： 当时，由⑴得知结论成立。

假设时，结论成立。下证时，结论也成立。

即时，结论成立。这样，我们完成了维数公式的推广。 下面我们介绍余子空间的概念。

定义 设是线性空间的一个子空间，的子空间叫做的一个子空间。如果 ⑴⑵

例⒛ 维线性空间上午任意一个子空间都有余子空间，那么

证： 设是子空间的一个基，取显然而且容易证明所以是的一个余子空间。

根据维数公式，则

例 设是维线性空间的子空间。且证明在中有不只一个余子空间。（北京师范大学） 证： 设为的一个基，

令则为的一个余子空间。

设则也是的一个余子空间，且。 ⒈显然

⒉对线性无关。

这样就证明了也是的一个余子空间。下证，如若不然那么令这与相矛盾。 由此得故命题成立。

设为个方程个未知量的齐次线性方程组，若则全部解向量作成一个维向量

空间的一个子空间，称为齐次线性方程组的解空间，其维数等于。

例22．在中，求由齐次线性方程糄 确定的解空间的基与维数。

解： 秩为2，因而解空间的维数是4-2=2 它的一个基为

例 23. 在四维线性空间中，设是由向量所生成的子空间，试求出子空间 解： 设向量则这个方程组显然有无穷多解，我们从中挑出两个线性无关的

而又是2维的，攊吱是由所生成的子空间。

例 24. 假设维线性空间的两个线性子空间的和的直数减一等于?们的交的维数，

试证：它们的和与其中一个子空间相等，另一个子可见与它?的交相等。

证： 设维线性空间为与是的两个子空间，由题设有 因为所以

⑴若那么这时由维数公式

⑵若那么由（*有仌而得但是有所以从而得这时由维摰公式又可得

而故

例 25. 设是中两组向量，试证：偆如这两个向量组都是线性无关的那么空间的维

数等于齐次线性方程组

的解空间的维数（其中都是列向量）。（丬国人民大学）

证： 设由已知条件可知因为所以以作列构成矩阵A，那么A是线性方稃

组（*）的系数矩阵。因此秩秩即根据维数公式得线性方程组（*）解空间的维数。

例 26. 举例说明：无限维线性空间可以与它的一个真子空间同构。

解： 令V