考点跟踪突破22 矩形、菱形与正方形
一、选择题
1．(2016·无锡)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(C ) A．对角线相等B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直 2．(2016·宁夏)菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF，若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( A )
A．22B.2C．62D．82 ,第2题图) ,第3题图)
3．(2016·荆门)如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( B )
A．△AFD≌△DCEB．AF＝AD C．AB＝AFD．BE＝AD－DF 4．(2016·宜宾)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A )
A．4.8B．5C．6D．7.2
,第4题图) ,第5题图)
5．(2016·呼和浩特)如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其
6
中E，F，G分别在AB，BC，FD上．若BF＝，则小正方形的周长为( C )
2
565656106A.B.C.D. 8623
点拨：∵四边形ABCD是正方形，面积为24，∴BC＝ CD＝26，∠B＝∠C＝90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠EFG＝90°，∵∠EFB＋∠DFC＝90°，∠BEF＋∠EFB＝90°，∴∠BEF＝∠DFC，∵∠EBF＝∠C＝90°，
EFBF6
∴△BEF∽△CFD，∴＝，∵BF＝，
DFDC2
623656EF56
CF＝，DF＝CD2＋CF2＝，∴＝，∴EF＝，∴正方形EFGH的周
2285626
2
56长为.故选C.
2
二、填空题 6．(2016·扬州)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为__24__．
,第6题图) ,第7题图)
7．(2016·齐齐哈尔)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件__AC⊥BD或∠AOB＝90°或AB＝BC__使其成为菱形(只填一个即可)．
8．(2016·包头)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝__22.5__度．
,第8题图) ,第9题图)
9．(2016·南京)如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为____13____cm.
10．(2016·菏泽)如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE＝CE，连接BE，则
1
tan∠EBC＝________．
3
三、解答题 11．(2016·沈阳)如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证： (1)∠CEB＝∠CBE；
(2)四边形BCED是菱形．
证明：(1)∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC＝∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠DBE，∴∠CEB＝∠CBE
(2))∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD，∵∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB，∴CE＝BD，∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形，∵BC＝BD，∴四边形BCED是菱形．
12．(2016·云南)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.
(1)求tan∠DBC的值；
(2)求证：四边形OBEC是矩形．
1
(1)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC＝∠ABC，∴∠ABC＋∠BAD
2
1
＝180°，∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，∴∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，则tan∠DBC
2
3
＝tan30°＝ (2)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°，∵BE∥AC，
3
CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC是平行四边形，则四边形OBEC是矩形．
13．(2016·潍坊)正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧AB上取一点E，连接DE，BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF，AF，且AF与DE相交于点G，求证：
(1)四边形EBFD是矩形；
(2)DG＝BE. 证明：(1)∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BED＝∠BAD＝90°，∠BFD＝∠BCD＝90°，又∵DF∥BE，∴∠EDF＋∠BED＝180°，∴∠EDF＝90°，∴四边形EBFD是矩形 (2)∵正
︵
方形ABCD内接于⊙O，∴AD的度数是90°，∴∠AFD＝45°，又∵∠GDF＝90°，∴∠DGF＝∠DFA＝45°，∴DG＝DF，又∵在矩形EBFD中，BE＝DF，∴BE＝DG.
14．(2016·兰州)阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题，有如下思路：连接AC.
结合小敏的思路作答：
(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；
参考小敏思考问题的方法解决以下问题： (2)如图②，在(1)的条件下，若连接AC，BD.
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明； ②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
解：(1)是平行四边形，证明：如图③，连接AC，
11
∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，同理HG∥AC，HG＝AC，
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综上可得：EF∥HG，EF＝HG，故四边形EFGH是平行四边形 (2)①AC＝BD.理由如下：
11
由(1)知，四边形EFGH是平行四边形，且FG＝BD，HG＝AC，∴当AC＝BD时，FG＝
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HG，∴平行四边形EFGH是菱形；②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．理由如下：由(1)知，四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF＝90°，∴四边形EFGH为矩形．
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