13-信号的功率谱密度解析

对于宽平稳过程来说，有下列Wiener-Khinchin定理

定理4.1(Wiener-Khinchin定理) 若X(t)为?上的宽平稳过程，且其自相关函数

RX(t)满足ò￥-?tR(t)dt

j2pft

SX(f)=ò-?RX(t)e-dt

证明 由功率谱密度的定义式知

SX(f)=limT=limT=limTT=lim

1轾T轾T-j2pft1-j2pft2E犏X(t)edtX(t)edt2犏112蝌-T-T2T臌臌T1EòX(t1)X*(t2)e-j2pf(t1-t2)dt1dt2-T2T1TT*-j2pf(t1-t2)E{X(t)X(t)}edt1dt212-T-T2T蝌1TT-j2pf(t1-t2)R(t-t)edt1dt2X12-T-T2T蝌{{}}如图4.2所示，对积分区域作变换

t=t1-t2,t2=s，则

1SX(f)=limT2T{蝌R0-2TX(t)e-j2pftdtT-Tds+R(t)e蝌02T-j2pftdtT-t-Tds}=-j2pftTlim12T{蝌0-2TRX(t)e(2T+t)dt+=戽镲镲睚ò2TRX(t)e-j2pft镲?Tlim12T镲1铪-2T??桫-|t|鳇÷2T÷÷÷dt=ò￥-?RX(t)e-j2pftdt

2Tft0R(t)e-j2p(2T-t)dt}于是定理得证。