幂零矩阵的性质与应用

滁州学院本科毕业论文

?a???1??的最小多项式为(x?a)k且有 引理7.k阶若当块Jk????????1a??(Jk?aE)k?0。

引理8.A,B为n阶复数域上的矩阵，若AB=BA，则存在可逆矩阵T，使得

??1???1?????2? ，T?1BT??T?1AT??????????n????2????

????n?3 幂零矩阵的性质

3.1 幂零矩阵的特性

幂零矩阵作为一种特殊的矩阵，自身具有一些特殊的性质。

性质1.幂零矩阵的行列式值为零，且所有的幂零矩阵都不可逆。

证明：设A是任一n阶幂零矩阵，?k?Z? 使得Ak?0，由行列式的性质得

A?Ak?0

k?A?0，A是退化的，A不可逆。

性质2.若A为幂零矩阵，则A?,A*,?A,An(n?N),mA(m?Z?)都为幂零矩阵。

k证明：因为A为幂零矩阵，?k?Z? 使得A?0，由引理1知

(A?)k?(Ak)??0??0 (?A)k?(?1)kAk?(?1)k0?0

所以A?,?A为幂零矩阵。

因为A为幂零矩阵，所以A?0，知A的秩只能为0或1。

**当r(A)?0时，A?0是幂零矩阵；

*

当r(A)?1时，有r(A)?n?1。由A的特征值全为零，存在可逆阵T，使

*4

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?01??01???????????1??1? A?TT?TJT， J?????1??1?????00????由AB?BA，知A*?T*J*(T*)?1，显然J*的特征值全为零， 所以A是幂零矩阵。又

*****(An)k?(Ak)n?0n?0

所以An(n?N)是幂零矩阵；因为

(mA)k?(m)kAk?(m)k?0?0

所以mA(m?Z?)也为幂零矩阵。

性质3.幂零矩阵的相似阵是幂零矩阵。

证明:令A是幂零矩阵，?k?Z? 使得Ak?0，令B是A的相似矩阵，则存在可逆阵

T，使得B?T?1AT，有Bk?(T?1AT)k?T?1AkT?0．即B也是幂零矩阵。

性质4.设A,B为n阶幂零矩阵，若AB?BA，则A?B，AB为幂零矩阵。 证明:A,B为n阶幂零矩阵，令k1,k2分别为它们的幂零指数,取m?k1?k2。 由AB?BA，有

km?kk(A?B)??痧B?Am?mAmk?0m1mm?1Am?1B???mABm?1?Bm

当k?k2时，m?k?k1，从而Am?kkm?kk?0，得到emAB?0

kkm?kk当k?k2时，显然有B?0，得到emAB?0

m所以(A?B)?0，即A+B是幂零矩阵。取m?max{k1,k2}，因为 AB?BA ，有

(AB)m?AmBm?0

即AB也是幂零矩阵。

性质5.数域F上的所有指数为n?1的n?n幂零矩阵彼此相似。

证明：设A是数域F上的n?n幂零矩阵，其指数是n-1，则An?1?0。

r当0?r?n?1时，A?0,所以A的最小多项式是dn(?)??n?1。故而，特征矩阵?E?A的不变

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因子为d1(?)?dn?2(?)?1，dn?1(?)??，dn(?)??n?1．由A的任意性得知，所有指数为n?1的

n?n幂零矩阵的特征矩阵的不变因子是一致的，即数域F上的所有指数为n?1的n?n幂零矩阵彼

此相似。

3.2 矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件

性质6.A为幂零矩阵的充分必要条件是A的特征值全为0。

证明：（必要性）A为幂零矩阵， 存在k?Z? 使得Ak?0，设?为A的任一特征值，则存在n维列向量X?0，有AX??X．即

AkX?Ak?1(AX)?Ak?1(?X)??Ak?1X????kX

kkk 由A?0，所以?X?0。又由X?0 知??0，得??0，即A的特征值为0。

（充分性）由A的特征值全为0知，A的特征多项式为f(?)??E?A??n，由引理3得，

f(A)?An?0

所以A为幂零矩阵。

性质7.A为幂零矩阵的充分必要条件是对于任何正整数k，迹Tr(Ak)?0。

证明：（必要性）由A是幂零矩阵知，A的特征值全为0。从而对于任何正整数k，A的特征值也全为0，有

kTr(Ak)??1k??2k????nk?0

（充分性）令A的特征值为?1,?2,?,?n，则A的特征值为?1k,?2k,?,?nk，k?Z?，则

kTr(Ak)??1k??2k????nk

假设A有不为0的特征值，设?1k,?2k,?,?sk为其中的互异的特征值，c1,c2,?,cs为相应的重数，有Tr(Ak)?c1?1k?c2?2k???cs?sk?0，k?Z?；将上式视为关于变量c1,c2,?,cs的其次线性方程组，由于

kB??1?2??s?12?22??s2????1??1?2??s1???1?1??2??s?

?1s?2s??ss1?j?i?s?1s?1?2s?1??ss?1??1?2??s?(?i??j)?0

知ci?0，i?[1,s]．与假设矛盾，故A的特征值全为0，即A为幂零矩阵。

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3.3 幂零矩阵和若尔当块

性质8.n阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n且幂零指数等于其若当形矩阵中阶数最高的若当块的阶数。

证明：令A为n阶幂零矩阵，由引理5知，存在可逆矩阵T ，使得

?J1??1TAT?????J2??????Js?

?0???1??阶数为n(i?1,2,?,s)．且 其中Ji??i??????10??2,(Ji)ni?0 1?ni?n(i?1,?取k?max(n1,n2,??,ns)，则k?n且有

)s,?J1?Ak?(T????J2?J1k????T?1)k?T???????Js??J2k???T?1 ???k?Js??T0T?1?0 (3?1)

k即A?0。

若令k0为A的幂零指数，则k0?k?n A0?0。 若k0?k，则?i0ks.tni0?k0 且Ji0k0?0，由(3?1)式，得

J2?J1k0????T?1)k0?T???????Js??J2k0???T?1?0 ???Jsk0???J1?k0A?(T????k这与A0?0矛盾。 故 k0?k?n。

性质9.若A为幂零矩阵，则A的若当标准形J的若当块为幂零若当块，且J和主对角线上的元素为0。

证明：A为幂零矩阵，由性质6，知A的特征值全为0。由引理5知，在复数域上，存在可逆 矩阵T，使得

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