第12讲+数列-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编+Word版含解析

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第12讲：数列

1、（2009一试7）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示） 【答案】101?298

【解析】易知：(ⅰ)该数表共有100行；

(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为d1?1，d2?2，d3?22，…，d99?298 (ⅲ)a100为所求．设第n?n≥2?行的第一个数为an，则

n?3n?2? an?an?1??an?1?2n?2??2an?1?2n?2?2?2a?2?2n?2??3n?2n?4n?2n?2n?1n?2n?2?=…… ?2a?3?2?2a?n?1?2?n?12?22?2a?2?2?2?2????n?31n?3??故a100?101?298．

2、（2010一试4）已知{an}是公差不为0的等差数列，其中a1?3,b1?1,a2?b2,3a5?b3，{bn}是等比数列，且存在常数?,?使得对每一个正整数n都有an?log?bn??，则????. 【答案】33?3

从而log?9?6,?3??log?9??，求得??33,??3，????33?3.

3、（2013一试8）已知数列?an?共有9项，其中a1?a9?1，且对每个i??1,2,?,8?，均有这样的数列的个数为. 【答案】491 【解析】令bi?ai?1?1?i?8?，则对每个符合条件的数列?an?有 aiai?1?1???2,1,??则ai2???bi??i?1i?188ai?1a91?? ??1，且bi??2,1,???1?i?8?.

2?aia1? 1 ○

1的8项数列?bn?可唯一确定一个符合题设条件的9项数列?an?. 反之，由符合条件○

1的数列?bn?的个数为N.显然bi?1?i?8?中有偶数个?记符合条件○

118?4k，即2k个?；继而有2k个2，

22k个1.当给定k时，?bn?的取法有C82kC82?2k种，易见k的可能值只有0,1,2，所以

24N?1?C82C6?C84C4?1?28?15?70?1?491.

因此，根据对应原理，符合条件的数列?an?的个数为491

4、（2014一试4）数列{an}满足a1?2,an?1?2(n?2)a2014an(n?N?)，则=_____. n?1a1?a2?...?a2013【答案】

2015. 2013

将上面两式相减，得Sn?2n(n?1)?(2n?1?2n?2?????2?2) ?2n(n?1)?2n?2nn. a201422013?20152015故??.a1?a2?????a201322013?20132013

5、（2017一试8）设两个严格递增的正整数数列{an}，{bn}满足a10?b10?2017,，对任意的正整数n，有

an?2?an?1?an,bn?1?2bn,则a1?b1的所有可能值为.

【答案】13,20.

【解析】由条件可知，a1,a2,b1均为正整数，且a1?a2,

由于2017?b10?29?b1?512b1,故b1?{1,2,3}.反复运用{an}的递推关系知

a10?a9?a8?2a8?a7?3a7?2a6?5a6?3a5?8a5?5a4?13a4?8a3?21a3?13a2?34a2?21a1

因此21a1?a10?b10?512b1?2b1(mod34)

而13?21=34?8+1，故有a1?13?21a1?13?2b1?26b1(mod34)另一方面,注意到a1?a2,有55a1?34a2?21a1?512b1,故a1?(1)

(2)

512b155a1?当b1?1时,(1)(2)分别化为a1?26(mod34)，512,无解. 551024,得到唯一的正整数a1?18,此时a1?b1?20. 551536,得到唯一的正整数a1?10,此时a1?b1?13. 55a1?当b1?2时，（1）（2）分别化为a1?52(mod34)，a1?当b1?3时，（1）（2）分别化为a1?78(mod34)，综上所述，a1?b1的所有可能值为13,20.

6、（2009一试10）已知p，q?q?0?是实数，方程x2?px?q?0有两个实根?，?，数列?an?满足a1?p，

4，?? a2?p2?q，an?pan?1?qan?2?n?3，(Ⅰ)求数列?an?的通项公式（用?，?表示）；(Ⅱ)若p?1，q?1，求?an?的前n项和． 4

数列?bn?的首项为：b1?a2??a1?p2?q??p??????????????????2．

22，??． 所以bn??2??n?1??n?1，即an?1??an??n?1?n?1，2，??． 所以an?1??an??n?1?n?1，①当??p2?4q?0时，????0，a1?p?????2?，an?1??an??n?1???n?1，2，变为

2，??．整理得，an?1??an??n?1?n?1，数列，其首项为

a1?2??2．所以

anan?1??n?1?an?n?1，2，?，．所以，数列?1???n?成公差为1的等差

?n???an???n?2?1?n?1??n?1．

于是数列?an?的通项公式为an??n?1??n； ②当??p2?4q?0时，???，

an?1??an??n?1??an????n?1?????an??n?1??n?1?n?1，2，??． ?????????