二次函数
知识梳理
一、二次函数的概念
一般地，形如y＝______________(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数． 二次函数的两种形式：
(1)一般形式：____________________________；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________． 二、二次函数的图象及性质 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 图象 (a＞0) (a＜0) 开口方向 开口向上 开口向下 bb对称轴 直线x＝－ 直线x＝－ 2a2ab4ac－b2?b4ac－b2???顶点坐标 ?－2a，4a? ?－2a，4a? bb当x＜－时，y随x当x＜－时，y随x2a2a的增大而减小；当x的增大而增大；当x增减性 bb＞－时，y随x的＞－时，y随x的增2a2a增大而增大 大而减小 bb当x＝－时，y有最当x＝－时，y有最2a2a最值 4ac－b24ac－b2______值 ______值 4a4a三、二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系 四、二次函数图象的平移
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的________和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：
五、二次函数关系式的确定
1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2
＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
六、二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的________．
3．当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，抛
物线与x轴有一个交点；当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两交点坐标分别为A(x1,0)，B(x2,0)，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________.
自主测试
1．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0,1)的是( ) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1 C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
2．如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1)b2－4ac＞0；(2)c＞1；(3)2a－b＜0；(4)a＋b＋c＜0.你认为其中错误的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
3．当m＝__________时，函数y＝(m－3)xm2－7＋4是二次函数． 4．将抛物线y＝x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为__________． 5．写出一个开口向下的二次函数的表达式：__________________________.
考点一、二次函数的图象及性质
【例1】(1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是( ) A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2) D．(1，－4)
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
－6b
解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－＝－
2a2×?－3?＝－1，
4ac－b24×?－3?×5－?－6?2
＝＝8， 4a4×?－3?
∴二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选A.
(2)点(－1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y3)，∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x＝1对称．∴y3＝y2.
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