2015-2016线性代数试卷(有答案)

本试卷适用范围：2014及2015级本科 南京农业大学试题纸

2015-2016学年 1 学期 课程类型：必修 试卷类型：A

课程 线性代数 班级 学号 姓名 成绩 一、选择题（每题3分，共15分）

1 设3阶矩阵A?(?1,?2,?3)，则A? （ ）

A．?3,?2,?1 B．??1,??2,??3 C．?1??3,?2??3,?3??1 D．?1,?1??2,?1??2??3 2设A,B均为n阶矩阵，则(A?B)(A?B)?A?B成立的充分必要条件为（ ） ．．．．A.A?B B.A?E C.B?E D.AB?BA 3 设n阶方阵A，且A?0，则A*A.1A A22???1?

D.

( )

B.

1*

AAC.A?1A?11A*A

4 设A,B为n阶矩阵，满足等式AB?0，则必有 （ ） A．A?0或B?0 B．A?B?0 C．A和B至少一个不可逆 D．A和B都不可逆

5 设?1,?2是非齐次线性方程组AX?b的两个解，则下列仍为该方程组解的是 （ ） A．?????

B．?1??2

C．

1??1?2?2? D．1?3?1?2?2? 25二、填空题（每题3分，共15分）

1 设???1,2,3?，则??? 。

T2 设A为3阶方阵，A??1，则(2A)T?1?__________。

3 设向量??(2,1,3,2),??(1,2,?2,1)，则?与?的夹角?? 。 4 若2阶矩阵A有一个特征值为2,且ATT?6,则A的另一个特征值为 。

225 若二次型f?x1?4x2?2tx1x2正定，则t满足 。

三、计算题（每题8分，共56分）

12011 计算行列式D?0113。

34362503?x1?x2?x3?x4?x5?2x?x?4x5?122 已知线性方程组??x1?2x2?3x3?3x4?7x5??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?1??1， ???2（1）当?取何值时该线性方程组有解？（2）在有解的情况下，求出线性方程组的通解。

?311???13?????3 求矩阵方程AX?2X?B的解，其中A??010?，B?02??。

?003??1?1?????TTTT4 向量组?1?(1,?1,0,2)，?2?(2,1,5,3)，?3?(1,2,5,1)，?4?(1,?1,?2,3)，

?5?(3,0,7,4)T，

（1）求向量组?1,?2,?3,?4,?5的秩及向量组的一个极大无关组； （2）将不属于极大无关组的向量用所求的极大无关组线性表示。

?1??1???????2??5 设向量1??和2?1?分别是方阵A的属于特征值?1?2,?2??1的特征向量，又

?1??2??????????向量?????，将?写成?1,?2的线性组合，并求A2?。

?????6若n阶矩阵A满足方程A?A?3E?O，判断矩阵A?2E是否可逆，如果可逆求出其逆矩阵。

7 已知3阶矩阵A的特征值分别为?1?1,?2?2,?3??1，对应的特征向量依次为

2?1??2???2???????1??0,???2,??23??????1?。

?0??0??2???????（1）给出可逆矩阵P与对角矩阵?，使得P?1AP??；（2）求矩阵A。 四、证明题（每题7分，共14分）

1设?1,?2,?3是三个线性无关的向量，且?1??2??3，?2??1??3,?3??1??2，证明：

?1,?2,?3线性无关。

2设A是n阶矩阵，x是n维非零列向量，且A?E?xxT，证明： （1）A2?A的充要条件是xTx?1；（2）当xTx?1时，A是不可逆矩阵。

参考答案 一 DDACD 二 14，?18，?2,3,?2?t?2 三 计算题

12011. 原式=

01130012(7分)??（11分） 000?1??111111?2. （1）(A,b)~?012263????00000??4?

??000000???当??4时，方程组有解。

??10?1?1?5?2?（2）(A,b)~?012263????000000?

??000000?????1??1??5???2???2?????2?????6????3??x?c1??1????c1??0???c1?0???0?

?0?????1???0????0??0??0????1????0??3. AX?2X?B，则(A?2E)X?B，X?(A?2E)?1B

?11?(A?2E)?1??1??0?10??

??001????26?X???0?2??

??1?1??4. ?1?(1,?1,0,2)T，?2?(2,1,5,3)T，??(1,2,5,1)T3，?5?(3,0,7,4)T，

(1,?1,?2,3)T4?，

??1???1(?1,?2,?3,?4,?5)??0??2?3??1??12?10??0~??55?270???3134???02110?101001002??01? ?1?1?00???1,?2,?4为一个极大线性无关组 ?3???1??2,?5?2?1??2??4

?1?????1???????5. ?????，?1??2?，?2??1?，可得???1?2?2

?1??2??????????A?1?2?1，A?2???2

?6???A2??A2(?1?2?2)?A2?1?2A2?2?4?1?2?2??10?

?8???6. 由A?A?3E?O可得：(A?2E)(A?3E)??3E

2A?3E)?E ?3A?3E?1所以(A?2E)?()

?3因此(A?2E)(?12?2??1?????27. （1）P??0?2?1?????

?00?2??1??????1?13/2????1（2）A?P?P??023/2?

?00?1???四、证明题

1. 设k1?1?k2?2?k3?3?0

即k1(?2??3)?k2(?1??3)?k3(?2??1)?0 从而(k2?k3)?1?(k1?k3)?2?(k1?k2)?3?0 由?1,?2,?3线性无关可知：

k2?k3?k1?k3?k1?k2?0

所以k1?k2?k3?0，从而?1,?2,?3线性无关。 2. （1）充分性：

若xTx?1，则A?(E?xx)(E?xx)?E?2xx?xxxx?E?xx?A 必要性： 若A2?A，即：

2TTTTTTA2?(E?xxT)(E?xxT)?E?2xxT?xxTxxT?E?(2?xTx)xxT?E?xxT

所以2?xx=1，因此xTx?1。

（2）当xTx?1时，Ax?(E?xx)x?O

所以方程组AX?O有非零解，因此A是不可逆矩阵。

TT