《高等数学》（上）一元函数微分学复习题

《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题

1.设f(lnx)?1?x，求f?(x).

2.设函数f(x)二阶可导，且f(0)?0，f?(0)?1，f??(0)?2，求limx?0f(x)?x. x23.设f(x)在x?2处连续，且limx?2f(x)?2，求f?(2). x?24.若y?f(sinx)，求dy.

25.函数f(x)有任意阶导数，且f?(x)??f(x)?，求f(n)(x).

6.设函数f(x)?ln(1?x2)，求f??(x). 7.求等边曲线y?11在点(, 2)的切线方程. x2x?0?sinx,8.设函数f(x)??，求f??(0)、f??(0)，并判断f?(0)是否存在.

?ln(1?x),x?0?x2,x?19.设函数f(x)??，为了使函数f(x)在x?1处连续且可导，a,b应取

?ax?b,x?1什么值？

?x?cost?10.求曲线?在t?处的切线方程和法线方程.

3?y?2sint11.设?1,3?是曲线y?ax3?bx2的拐点，求a,b.

12.设y?y(x)由y3?y2?2x确定，求其在点(0,?1)处的切线方程和法线方程.

?x?13.设函数y???，求其导数y?.

?1?x??t?d2y?x?3e14.设曲线的参数方程为?，求2. tdx??y?2exd2y15.求由方程x?y?1所确立的隐函数y?y(x)的二阶导数2.

dx22316.求椭圆3x2?4y2?12上点(1, )的切线方程.

217.设函数y?f(x)由方程xy?2lnx?y4确定，求

dy. dx?1,1?18.曲线y?x2?x(x?0)在(?1,0)处的曲率为多少？ 19.当x??1时，函数y?x3?3px?1取得极值，求p. 20.求抛物线y?x2?4x?3在顶点处的曲率半径. 21.曲线y?(x?1)2(x?3)2的拐点个数有几个？ 22.若曲线为y??x?5?x，则其拐点坐标为多少？

y23.求由方程e?xy?e?0所确定的隐函数的微分dy.

2324.证明：当x?0时，1?x?1?x. 25.证明：当0?x?12?1时，tanx?x?x3. 2326.证明，当x?1时，ex?ex.

27.证明：当a?b?0，n?1时，nbn?1(a?b)?an?bn?nan?1(a?b). 28.证明：当x?0时，有

x?ln(1?x)?x. 1?x29.甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于

离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

BACD30.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？

31.一房地产公司有50套公寓要出租.当月租金定位1000元时，公寓会全部租出，

当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需要花费100元维修费，试问房租定位多少可获得最大收入？最大收入是多少？ 32.用铝合金制造容积为V的圆柱形罐头，罐身（侧面和底部）用整块材料拉制而成，顶盖是另装上去的. 设顶盖的厚度是罐身厚度的三倍，问如何确定它的底半径和高才能使得用料最省？

33.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面面积为5m2，问底宽x为多少时，才能使截面周长最小，从而使建造材料最省？

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