总习题十二高等数学同济大学第六版本

r?x?r222?ux?rr?xx?x???f(r)?f(r)?3f(r)?2f?(r)? 2?2r?x?xrrr2 同理可得

22222r2?y2y2?u?ur?zzf?(r)?2f?(r)? 2?3f?(r)?2f?(r)? 2??yr3r?zrr2223r2?x2?y2?z2x2?y2?z2?u?u?u?f(r)?f?(r) 于是 2?2?2?32?x?y?zrr222r2dud?? ?3f(r)?f(r)?? ?urdrdr2r因此拉普拉斯方程化为 222dudud ?2?0? 即u?2du?0? 2rdrdrdrrdr 令du?p(r)? 则以上方程进一步变成 drdpdp 2p??0? 即?2p?0? rdrdrr其通解为 ??2drp?C1er ?C1du?C1? ? 即drr2r2由于f ?(1)?1? 即r?1时du?1? 所以C1?1? du?1? drdrr2 在方程du?1的两边积分得 drr2 u??1?C2? r 又由于f(1)?1? 即r?1时u?1? 所以C2?2? 从而u??1?2? 即f(r)??1?2? rr

9? 设y1(x)、y2(x)是二阶齐次线性方程y???p(x)y??q(x)y?0的两个解? 令

y(x)y2(x)?? W(x)?1?(x)y2?(x)?y1(x)y2(x)?y1(x)y2(x)? y1证明?

(1)W(x)满足方程W ??p(x)W?0?

证明 因为y1(x)、y2(x)都是方程y???p(x)y??q(x)y?0的解? 所以 y1???p(x)y1??q(x)y1?0? y2???p(x)y2??q(x)y2?0?

从而 W ??p(x)W?(y1?y2?? y1y2??? y1??y2? y1?y2?)?p(x)( y1y2?? y1?y2) ?y1[y2???p(x)y2?]? y2[y1???p(x)y1?] ?y1[?q(x)y2]? y2[?q(x)y1] ?0?

即W(x)满足方程W ??p(x)W?0? (2)W(x)?W(x0)e??p(t)dtx0x?

证明 已知W(x)满足方程 W ??p(x)W?0? 分离变量得

dW??p(x)dx? W将上式两边在[x0? x]上积分? 得 lnW(x)?lnW(x0)???p(t)dt?

x0x即 W(x)?W(x0)e??p(t)dtx0x?