2018城六区一模函数与导数理科
【西城一模】18．（本小题满分13分）
x已知函数f(x)?e?(a?1?lnx)，其中a?R． xx垂直，求a的值； e（Ⅰ）若曲线y?f(x)在x?1处的切线与直线y??（Ⅱ）当a?(0,ln2)时，证明：f(x)存在极小值．
111xx解：（Ⅰ）f(x)的导函数为f?(x)?e?(a??lnx)?e?(?2)
xxx21?ex?(a??2?lnx)．[ 2分]
xx
依题意，有 f?(1)?e?(a?1)?e，[4分]
解得a?0．[5分]
（Ⅱ）由f?(x)?ex?(a?令g(x)?a?2121x?2?lnx)及e?0知，f?(x)与a??2?lnx同号． xxxx21??lnx，[6分] xx2x2?2x?2(x?1)2?1则 g?(x)?．[8分] ?33xx所以对任意x?(0,??)，有g?(x)?0，故g(x)在(0,??)单调递增．[9分] 11因为a?(0,ln2)，所以g(1)?a?1?0，g()?a?ln?0，
221故存在x0?(,1)，使得g(x0)?0．[11分]
21f(x)与f?(x)在区间(,1)上的情况如下：
2x f?(x) f(x) 1(,x0) 2? x0 0 (x0,1) + ↗ ↘ 极小值 1所以f(x)在区间(,x0)上单调递减，在区间(x0,1)上单调递增．
2所以f(x)存在极小值f(x0)．[13分]
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2018城六区一模函数与导数理科
【朝阳一模】18． (本小题满分13分)
已知函数f(x)?lnx?1?ax． x（Ⅰ）当a?2时，（ⅰ）求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
（ⅱ）求函数
（Ⅱ）若1?a?2，求证：
f(x)的单调区间；
f(x)??1．
（Ⅰ）当a?2时，f(x)?lnx?1?2x. x2?lnx2?2x2?lnxf?(x)??2?.
x2x2 （ⅰ）可得f?(1)?0，又f(1)??3，所以f(x)在点（1,?3）处的切线方程为y??3. ….3分
（ⅱ）在区间（0,1）上2?2x2?0，且?lnx?0，则f?(x)?0. 在区间（1,??）上2?2x2?0，且?lnx?0，则f?(x)?0.
所以f(x)的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1,??）. ….8分 （Ⅱ）由x?0，f(x)??1，等价于
lnx?12?ax??1，等价于ax?x?1?lnx?0. x 设h(x)?ax2?x?1?lnx，只须证h(x)?0成立.
12ax2?x?1 因为h?(x)?2ax?1??，1?a?2，
xx 由h?(x)?0，得2ax2?x?1?0有异号两根. 令其正根为x0，则2ax02?x0?1?0. 在(0,x0)上h?(x)?0，在(x0,??)上h?(x)?0.
2?x0?1?lnx0 则h(x)的最小值为h(x0)?ax0?1?x0?x0?1?lnx0 23?x0??lnx0.
21a3 又h?(1)?2a?2?0，h?()?2(?)?a?3?0，
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1?x0?1. 23?x0 则?0,?lnx0?0.
23?x0因此?lnx0?0，即h(x0)?0.所以h(x)?0
2 所以f(x)??1. ….….13分
所以
【丰台一模】（18）（本小题共13分）
已知函数f(x)?e?a(lnx?1)(a?R)． （Ⅰ）求函数y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若函数y?f(x)在(,1)上有极值，求a的取值范围． （18）（本小题共13分）
解：函数f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)?e?xx12a．????????1分 x（Ⅰ）因为f(1)?e?a，f?(1)?e?a，????????3分
所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?(e?a)?(e?a)(x?1)， 即y?(e?a)x．????????5分 （Ⅱ）f?(x)?e?xa． x（ⅰ）当a?0时，对于任意x?(,1)，都有f?(x)?0，???????6分
12所以函数f(x)在(,1)上为增函数，没有极值，不合题意．????????8
分
x（ⅱ）当a?0时，令g(x)?e?12aax，则g?(x)?e?2?0．???????9xx分
所以g(x)在(,1)上单调递增，即f?(x)在(,1)上单调递增，????10分
1212?f?(1)?0,1?所以函数f(x)在(,1)上有极值，等价于????????12分 12f?()?0.??2 3 / 7
2018城六区一模函数与导数理科
所以??e?e?a?0, 所以?a?e．
2??e?2a?0.e,e)．????????13分 2所以a的取值范围是(【海淀一模】(18)（本小题13分）
已知函数f(x)?lnxx?a
(I)当a?0时，求函数f(x)的单调递增区间； (Ⅱ)当a?0时，若函数f(x)的最大值为，求a的值.
18.（本题满分13分）
（Ⅰ）当a?0时，f(x)?lnx x1?x?lnx1?lnx 故
f'(x)?x2?xx2
令故
f'(x)?0，得0?x?e
f(x)的单调递增区间为(0,e) ··························································· 4分
x?aa?lnx1??lnx （Ⅱ）方法1：f'(x)?xx?(x?a)2(x?a)2令g(x)?1?a?lnx xa1x?a????0 x2xx2则g'(x)??由g(e)?
aa1?0，g(ea?1)?1?a?1?(1?a)?a?(a?1?1)?0 eeea?1故存在x0?(e,e)，g(x0)?0
故当x?(0,x0)时，g(x)?0；当x?(x0,??)时，g(x)?0
x (0,x0) x0 0 极大值 (x0,??) f'(x) f(x) 故f(x0)?? ↗ ? ↘ 1 e2 4 / 7
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