2019年中考数学考前冲刺必刷题型一线三等角与相似问题学案（无答案）

2019中教数学考前冲刺必刷题型

”一线三等角”与相似问题

一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，通常称为“K字模型”，也有部分地方称为“M形图”。

起源与基本类型

DE绕A点旋转，从外到内，从一般位置到特殊位置。 基本类型：

同侧“一线三等角”

异侧“一线三等角”

性质

1.一般情况下，如图，易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等。（若CE=ED，则△AEC≌△BDE） 3.中点型“一线三等角”

如图，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.

4.“一线三等角”的各种变式

应用

1.“一线三等角”应用的三种情况。

a.图形中已经存在一线三等角，直接应用模型解题；

b.图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题； c.图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.

2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段。

3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似。

如上图，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D两点作直线l的垂线是必不可少的。

例1.如图，已知E是矩形ABCD的边AB上一点， EF⊥DE交BC于点F， 试说明：ΔADE∽ΔBFE。

分析：要证明ΔADE与ΔBFE相似，已经知道∠A=∠B=90°，只需要再找出另外一对相等的角即可。

解答：在矩形ABCD中，∠A=∠B=90° ∵EF⊥DE

∴∠DEF=90°，∠2+∠3=90° 又 ∵∠1+∠3=90° ∴∠1=∠2 ∴ΔADE∽ΔBFE

小结：此时，在直线AB上，∠A=∠DEF=∠B=90°，一条线上有3个直角， 两边的ΔADE与ΔBFE相似。这个相似的基本图形像字母K，可以称为“K”型相似，但更因为图形的结构特征是一条线上有3个垂直关系，也常被称为“一线三垂直”。

练习反馈:

1.如图，已知等边三角形ABC， 点D、E分别为BC，AC上的点，∠ADE=60o。

（1） 图中有相似三角形吗？如果有，请说明理由。

（2） 如图，若将∠ADE在ΔABC的内部（∠ADE两边不与BC重合）绕点D逆时针旋转一定的角度，得到的两三角形仍相似吗？