2020高二数学阶段检测
?1?P?x?4??C54???2?451?1?5?1?， 1??Px?5?C???5?????2?32?2?3215X的分布列为 X P 0 1 5 322 5 163 5 164 5 325 1 321 32 ?1?X:B随机变量?5,?的二项分布，故
?2?E?X??5?15?。. 22【点睛】
本题考查简单随机事件的概率、分布列与数学期望，属于中档题。
221．已知函数f?x??aln?x?bx在?1,f?1??处的切线方程为y?0.
（Ⅰ）求f?x?的单调区间：
?1?（Ⅱ）关于x的方程f?x??m?0在?,???范围内有两个解，求m的取值范
?e?围.
【答案】（Ⅰ）函数f?x?单调递减区间为?0,1?，单调递增区间为?1,???；（Ⅱ）
0?m?1?11?. e2e【解析】（Ⅰ）根据f?1??1?b?0，f??1??a?2?1?0，可解出
f?x???lnx?x2?x， 再求导判断即可。
?1?（Ⅱ）由（I）可知f?x?在?,1?单调递减，在?1,???单调递增. f?1??0，
e??11?1?f???1?2?，画出草图即可得出答案。
ee?e?【详解】
2解：（I）函数f?x??alnx?x?bx，则f??x??a?2x?b且x?0. x因为函数f?x?在?1,f?1??处的切线方程为y?0，
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所以f?1??1?b?0则b??1，f??1??a?2?1?0则
2a??1.f?x???lnx?x?x
?12x2?x?1?2x?1??x?1?所以，f??x???2x?1?. ?xxx当0?x?1时f??x??0故f?x?为单调递减，当1?x时f??x??0故f?x?为单调递增.
所以函数f?x?单调递减区间为?0,1?，单调递增区间为?1,???.
?1?（II）因为方程f?x??m?0在?,???范围内有两个解，
?e??1?所以y?f?x?与y?m在?,???又两个交点
?e??1?由（I）可知f?x?在?,1?单调递减，在?1,???单调递增.
?e??1?所以f?x?在?,???有极小值为f?1??0，且
?e?11?1?f???1?2?.
ee?e?又因为当x趋于正无穷大时，f?x?也趋于正无穷大.所以0?m?1?【点睛】
11?. e2e本题考查根据函数的切线方程求函数的单调区间，根据函数的零点个数求参数的取值范围，属于中档题。
??x?23cos?xoy22．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为?（?为参数）.??y?2sin?以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?cos?????????42. 4?（Ⅰ）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程：
（Ⅱ）设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标.
x2y2C2的直角坐标方程为x?y?8?0；C1的普通方程为?【答案】（Ⅰ）?1，
124（Ⅱ）最小值为22，此时P的直角坐标为?3,1?.
【解析】（Ⅰ）曲线C1，利用sin2??cos2?=1 消掉参数?即可，
?x??cos?2,x?y2??2 化简即可。 曲线C2，利用??y??sin?
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（Ⅱ）利用点到直线的距离公式d?【详解】
ax?by?ca?b22 ，代入化简即可求出最小值。
22xy解：（I）C1的普通方程为??1，C2的直角坐标方程为x?y?8?0.
124（II）由题意，可设点P的直角坐标为23cos?,2sin?.因为C2是直线， 所以PQ的最小值即为P到C2的距离d???的最小值，
d????23cos??2sin??82?????4sin?????8， 3???2当且仅当??2k???6（k?Z）时，d???取得最小值，最小值为22，此时P的直角坐标为?3,1?.
【点睛】
本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，掌握互化公式是解本题的关键，属于基础题。
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