7.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为( ) A．4B．3C．2D．1 答案 A
解析 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面． 2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A
解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.
3．(2020·秦皇岛模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( ) A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c 答案 C
解析 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.
4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β的交线是( )
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．直线AC C．直线CD 答案 C
- 1 -
B．直线AB D．直线BC
解析 由题意知，D∈l，l?β，所以D∈β， 又因为D∈AB，所以D∈平面ABC， 所以点D在平面ABC与平面β的交线上． 又因为C∈平面ABC，C∈β，
所以点C在平面β与平面ABC的交线上， 所以平面ABC∩平面β＝CD.
5.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是( )
A．A，M，O三点共线 C．A，M，C，O不共面 答案 A
解析 连结A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC， ∴A1，C1，A，C四点共面， ∴A1C?平面ACC1A1， ∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1， 又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上． ∴A，M，O三点共线．
6．(2019·海南联考)在四棱锥P－ABCD中，所有侧棱长都为42，底面是边长为26的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为( ) A．30°B．45°C．60°D．90° 答案 C
解析 如图，由题意可知O是正方形ABCD的中心，
B．A，M，O，A1不共面 D．B，B1，O，M共面
取N为OC的中点，连结MN，所以OP∥MN， 则∠BMN是异面直线OP与BM所成的角．
- 2 -
因为OP⊥平面ABCD， 所以MN⊥平面ABCD，
因为在四棱锥P－ABCD中，所有侧棱长都为42，底面是边长为26的正方形， 所以OC＝23，所以OP＝32－12＝25， 因此MN＝5，
在Rt△BON中，BN＝OB＋ON＝15， ∴tan∠BMN＝＝3，∴∠BMN＝60°， 则异面直线OP与BM所成的角为60°.故选C.
7．(多选)如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，下列四个命题中，正确的命题是( )
22BNMN
A．BM与ED平行 C．CN与BM成60°角 答案 CD
解析 由题意画出正方体的图形如图，
B．CN与BE是异面直线 D．DM与BN垂直
显然AB不正确；
∠ANC＝60°，即CN与BM成60°角，C正确；
因为BC⊥DM，CN⊥DM，BC∩CN＝C，BC，CN?平面BCN，所以DM⊥平面BCN，又BN?平面BCN，所以DM⊥BN，所以D正确． 故选CD.
8．(多选)关于正方体ABCD－A1B1C1D1有如下四个说法，其中正确的说法是( )
A．若点P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变
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B．若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是直线A1D1
?π?C．若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与DC所成角的范围为?0，?
3??
D．若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与D1C所成的角一定是锐角 答案 AB
解析 对于A，由BC1∥AD1，可得BC1∥平面AD1C，
则P到平面AD1C的距离不变， 由△AD1C的面积为定值，
可知点P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变，故A正确； 对于B，若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点， 则P点的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1，故B正确；
对于C，直线AP与DC所成角即为∠PAB，当P与C1重合时，∠PAB最大，最大值为arctan π
＜，故C错误； 3
π
对于D，当P与C1重合时，AP与D1C所成的角为，故D错误．
2所以其中说法正确的是A，B.
9．正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有________条． 答案 6
解析 如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，
2
B1C1，共6条．
10．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
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答案
2
解析 取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连结C1D，AD，
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD. 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形， 所以C1D＝2AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为2， 所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2.
11.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
(1)证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与
BD是异面直线．
(2)解 取CD的中点G，连结EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，
所以相交直线EF与EG所成的角，
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