平面向量专题复习一
★知识梳理★
1.平面向量基本定理和平面向量的坐标表示
(1) 平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
其中，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (2) 平面向量的坐标运算
向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
2
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y1.
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(3) 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. a∥b?x1y2－x2y1＝0. 3.平面向量的数量积
(1)定义 ：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a和b的
b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 数量积，记作a·
（2））向量数量积的几何意义：
|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影 (θ是向量a与b的夹角)．
b的几何意义是：数量a·b等于 ． a·b＝x1x2＋y1y2， （2）数量积的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·
一 基础再现
考点1. 平面向量的有关概念
1.如果实数p和非零向量a与b满足pa?(p?1)b?0，则向量a和b ▲ ．（填“共线”或“不共线”）．
考点2：平面向量的线性运算 2.（2014高考福建卷改编）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD
uuuruuuruuuruuur所在平面内任意一点，则OA?OB?OC?OD等于
(1)OM;(2)2OM;(3)3OM;(4)4OM
考点3：平面向量的坐标表示
rrrr3.设平面向量a??3,5?,b???2,1?，则a?2b?
- 9 -
考点4：平面向量的的数量积
rrrrrr04.已知向量a和b的夹角为120，|a|?1,|b|?3，则|5a?b|? ．
考点5：平面向量的平行与垂直
rrrrr5.已知平面向量a=（1，－3），b=（4，－2），?a?b与a垂直，则?= 6.设向量a?(1，，2)b?(2，3)，若向量?a?b与向量c?(?4，?7)共线，则?? ．
考点6：平面向量的应用
7．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是 ( ) A．1
1.答案：共线 2.答案：4OM
解析：由已知OA?OM?B．2 C．2
D．
2 2
111CA,OB?OM?DB,OC?OM?AC,OD? 2221BD,于是OA?OB?OC?0D?4OM 2rrrr3.答案：∵a??3,5?,b???2,1? ∴a?2b??3,5??2??2,1???3?4，5?2???7，3? OM?rr2rr4.答案：5a?b?5a?b??2r2rrr2?1??25a?10a?b?b=25?12?10?1?3?????32?49，
?2?rr5a?b?7
评析：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可
rrrrrr5.答案：由于?a?b????4,?3??2?,a??1,?3?,?a?b?a
∴???4??3??3??2??0，即10??10?0????1. 6.答案：
?a?b＝(??2,2??3)则向量?a?b与向量c?(?4，?7)共线
???2?4????2
2??3?77.解：2.
二 范例剖析
12
例1(1)(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.
23
uuuruuuruuur1若DE＝λ1AB＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
2
- 10 -
uuuruuur(2)如图，在△ABC中，设AB＝a，AC＝b，AP的中点为Q，BQ的中
uuur点为R，CR的中点恰为P，则AP等于________________．
24答案：a＋b.
77
uuur1uuuruuuruuur例2 (2014·济南调研)如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB3r32uuu＋AC，则实数m的值为________． 1111
例3．(2014·天津高考)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，
uuuruuuruuuruuur2
CF＝－3，则λ＋μ＝( C ) DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AE·AF＝1，CE·
1
A．
25C．
6
例4．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)? 1
－?＝－16. 解：由已知得，a·b＝4×8×??2?(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝43. ②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a－2b|＝163. (2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)， ∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，
2
B．
37D．
12
- 11 -
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
urururuururr例5.若平面向量?，?满足?=1，??1|，且以向量?，?为邻边的平行四边形的面积
urur1为，则?与?的夹角?的范围是________． 2
uuruuur解析：如图，作OA＝α，OB＝β，其中，点A在单位圆上，点
B在单位圆内，由已知得到△ABO的面积为，故点B在如图
1
所示的线段CD上，线段CD与OA所在的直线间的距离为，
2π5π
则∠AOC＝，∠AOD＝，因此，α与β的夹角θ的范
66
1
4
?π5π?围是?，?.
6??6
三 巩固训练
13?31),b?(,)，则下列关系正确的是( ) 1．已知向量a?(,2222?A、a?b B、(a?b)?(a?b) C、a?(a?b) D、a?(a?b)
????????2．若|a?b|?|a?b|?2|a|，则向量a?b与a的夹角为（ ）
????????????A．
?3 B．
?6 C．
2?5? D． 363．在?ABC中，AB?2，BC?3，?ABC?60?，AD为BC边上的高，O为AD的中
uuuruuuruuur点，若AO??AB??BC，则???的值为（ ）
A.
uuuruuuruuurruuuruuur?4．已知O为?ABC内一点，满足OA?OB?OC?0, AB?AC?2,且?BAC?,则
32 3 B.
3 4
5 C.
6 D.1
?OBC的面积为（ ）
- 12 -
A．
1233 B． C． D． 2332rr5．对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是（ ）
rrrrrrrrA．|a?b|?|a||b| B．|a?b|?||a|?|b||
rrrrr2r2rr2rr2C．(a?b)?|a?b| D．(a?b)(a?b)?a?b
uuuruuuruuur1uuur6．已知AB?AC,AB?,AC?t，若P 点是?ABC 所在平面内一点，且
tuuuruuuruuuruuuruuurAB4ACAP?uuur?uuur，则PB?PC 的最大值等于（ ）
ABACA．21 B．19 C．15 D．13
rrr7.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，
rrr?若c??a??b??,??R?，则= .
?rrrr8．已知a??1,?2?，b??2,??，且a与b的夹角为锐角，则实数?的
取值范围是 .
9．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，AP=3，点Q是
uuruur△BCD内(包括边界)的动点，则AP?AQ的取值范围是 .
10．设A是平面向量的集合，a是定向量，对x?A，定义f(x)?x?2(a?x)?a．现给出如下四个向量：
????????13?． ??22?，③??22?，④??①a?(0,0)，②a??,????a???,a?,???4???4?2??22???2那么对于任意x、y?A，使f(x)?f(y)?x?y恒成立的向量a的序号是 （写出满足条件的所有向量a的序号）．
11．已知平面上三个向量a,b,c，其中a?(1,2)， （1）若c?25，且a∥c，求c的坐标； （2）若b?????????5，且(a?2b)?(2a?b)，求a与b夹角的余弦值. 2 - 13 -
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