开卷速查(十三) 变化率与导数、导数的计算
A级 基础巩固练
1．[2014·课标全国Ⅱ]设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 C．2
B．1 D.3
1解析：y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，
x＋1即a－1＝2，所以a＝3. 答案：D
4
2．已知点P在曲线y＝x上，α为曲线在点P处的切线的倾斜
e＋1角，则α的取值范围是( )
π??
A.?0，4? ??
?π3π?C.?2，4? ??
?ππ?
B.?4，2? ???3π??D.4，π? ??
－4ex
解析：y′＝x＝
?e＋1?2－4
ex＋2＋exx
≥－1(当且仅当e＝1，即x＝0时1
3π
取等号)，即－1≤tanα＜0，所以4≤α＜π.
答案：D
23
3．已知函数f(x)＝3x－2ax2－3x(a∈R)，若函数f(x)的图像上点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0，则m的值为( )
1
A．－3
1B.－2
1C.3
2
解析：∵f(x)＝3x3－2ax2－3x， ∴f′(x)＝2x2－4ax－3，
1D.2
∴过点P(1，m)的切线斜率k＝f′(1)＝－1－4a. 又点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0， ∴－1－4a＝3，∴a＝－1， 23
∴f(x)＝3x＋2x2－3x. 又点P在函数f(x)的图像上， 1
∴m＝f(1)＝－3，故选A. 答案：A
121
4．已知曲线y＝4x－3lnx的一条切线的斜率为－2，则切点横坐标为( )
A．－2
B.3
C．2或－3 D.2
13
解析：设切点坐标为(x0，y0)，∵y′＝2x－x，
1312
∴y′|x＝x0＝2x0－x＝－2，即x0＋x0－6＝0，解得x0＝2或－3(舍)．
0
答案：D
5．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
1A.3
2
C.3
1B.2 D.1
解析：y′|x＝0＝(－2e－2x)|x＝0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝x的交点分别
?22?121
为(1,0)，?3，3?，故围成的三角形的面积为2×1×3＝3. ?
?
答案：A
1
6．下列四个图像中，有一个是函数f(x)＝3x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数y＝f′(x)的图像，则f(1)＝( )
10A.3
2
C．－3
4B.3 D.1
解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－4，因为a≠0，所以f′(x)不是偶函数，排除第一、二个图像，由于开口向上，所以第三个图像是f′(x)的图像，
?f′?0?＝0，?2a?－2>0.
1322
a＝－2，f(x)＝3x－2x＋1，f(1)＝－3.选C.
答案：C
?π??π?
7．已知函数f(x)＝f ′?2?sinx＋cosx，则f?4?＝__________.
??
??
?π??π?
解析：由已知：f ′(x)＝f ′?2?cosx－sinx.则f ′?2?
?????π?
＝－1，因此f(x)＝－sinx＋cosx, f?4?＝0.
??
答案：0
13
8．若以曲线y＝3x＋bx2＋4x＋c (c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围为__________．
解析：y′＝x2＋2bx＋4，∵y′≥0恒成立， ∴Δ＝4b2－16≤0，∴－2≤b≤2. 答案：[－2,2]
f′?1?x1
9．曲线f(x)＝ee－f(0)x＋2x2在点(1，f(1))处的切线方程为__________．
f′?1?xf′?1?1
解析：f′(x)＝ee－f(0)＋x?f′(1)＝ee－f(0)＋1?f(0)＝f′?1?x12
1.在函数f(x)＝ee－f(0)＋2x中，令x＝0，则得f′(1)＝e.所以f(1)11＝e－2，所以f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋f(1)＝ex－2，1
即y＝ex－2. 1
答案：y＝ex－2
1
10．已知点M是曲线y＝3x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l的倾斜角α的取值范围．
解析：(1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1， 5
∴当x＝2时，y′＝－1，y＝3. 5???∴斜率最小的切线过点2，3?，斜率k＝－1. ??
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