2019届高三模拟考试试卷(南师附中) 数学附加题参考答案及评分标准
?1 1?
21. A. 解：(1) 由题意，由矩阵的逆矩阵公式得B＝A＝??.(5分)
?0－1?
－1
(2) 矩阵B的特征多项式f(λ)＝(λ＋1)(λ－1)，(7分) 令f(λ)＝0，解得λ＝1或－1，(9分) 所以矩阵B的特征值为1或－1.(10分)
B. 解：将圆ρ＝2asin θ化成普通方程为x2＋y2＝2ay，整理得x2＋(y－a)2＝a2.(3分) π
将直线ρcos(θ＋)＝1化成普通方程为x－y－2＝0.(6分)
4|a＋2|因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝a，(9分)
2解得a＝2＋2.(10分)
C. 解：因为(1－x＋3x＋2)2＝(3－3x·120
≤(3－3x＋3x＋2)(＋1)＝，(3分)
33215所以y＝1－x＋3x＋2≤.(5分)
3
3－3x3x＋272
当且仅当＝，即x＝∈[－，1]时等号成立．(8分)
111233215所以y的最大值为.(10分)
3
22. 解：(1) 因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD平面ABCD， 所以PA⊥AB，PA⊥AD.
因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．
分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．
因为点M为PC的中点，所以M(1，1，2)．
→→
所以BM＝(－1，1，2)，AP＝(0，0，4)，(2分)
→→AP·BM0×（－1）＋0×1＋4×26→→
所以cos〈AP，BM〉＝＝＝，(4分)
3→→4×6|AP||BM|所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为
6
.(5分) 3
1＋3x＋2·1)2 3
→
(2) 因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN＝(－1，λ－1，－2)， →→
BC＝(0，2，0)，PB＝(2，0，－4)．
→??2y＝0，BC＝0，?m·?
设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，则?即?
?→2x－4z＝0.??m·PD＝0，?
令x＝2，解得y＝0，z＝1，所以m＝(2，0，1)是平面PBC的一个法向量．(7分) 4
因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，
5
→
|－2－2||MN·m|4→
所以|cos〈MN，m〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0，4]， 25→5＋（λ－1）·5|MN||m|
所以λ的值为1.(10分) 23. 解：(1) L(1)＝2，(1分) L(2)＝6，(2分) L(3)＝20.(3分)
(2) 设m为沿x轴正方向走的步数(每一步长度为1)，则反方向也需要走m步才能回到y轴上，nnn
所以m＝0，1，2，……，[](其中[]为不超过的最大整数)，
222
总共走n步，首先任选m步沿x轴正方向走，再在剩下的n－m步中选m步沿x轴负方向走，
mn－2m
最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下)，即Cm， n·Cn－m·2
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