【高中数学】《数列》知识点
一、选择题
1．设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S15?0，S16?0，则Sn取最大值时n的值为（ ） A．6 【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意推导出数列?an?为单调递减数列，且当n?8时，an?0，当n?9时，an?0，由此可得出结果. 【详解】
B．7
C．8
D．13
QS15?15?a1?a15?16?a1?a16??15a8?0，S16??8?a8?a9??0，?a8?0，
22a9?0，
所以，等差数列?an?的公差d?a9?a8?0，则数列?an?为单调递减数列. 当n?8时，an?0，当n?9时，an?0， 因此，当n?8时，Sn取最大值. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用等差数列前n项和的最值求对应的n的值，主要分析出数列的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
n2．已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若2a3?2a4?128,S3?6，则数列(?1)an的前40
??项和为（ ） A．0 【答案】B 【解析】 【分析】
先由题意求出a3+a4=7，然后利用等差数列的前n项和公式表示出a1?a3?4，前后两式
n作差，求出公差，进而代入求出首项，最后即得an?n，代入题目中(?1)an，两两组
B．20 C．40 D．80
??合可求新数列前40项的和. 【详解】 依题意，S3?3?a1?a3?2?6 ，
∴a1?a3?4，①
∵2a3?2a4?128，即2a3?a4?128， ∴a3+a4=7，② ②－①得3d?3， ∴d?1， ∴a1?1,an?n， ∴(?1)nan?(?1)nn，
n∴(?1)an的前40项和S40?(?1?2)?(?3?4)?????(?39?40)?20，
??故选：B. 【点睛】
本题考查了指数运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；主要考查等差数列的前n和公式，等差中项的性质等等，以及常见的摆动数列的有限项求和，可以采用的方法为：分组求和法，两两合并的方法等等，对学生的运算能力稍有要求，为中等难度题
3．已知数列{an}满足an?1?an?2，且a1,a3,a4成等比数列.若{an}的前n项和为Sn，则
Sn的最小值为（ ）
A．–10 【答案】D 【解析】 【分析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得Sn，再利用二次函数的性质，可得当
B．?14
C．–18
D．–20
n?4或5时，Sn取到最小值.
【详解】
根据题意，可知{an}为等差数列，公差d?2，
2由a1,a3,a4成等比数列，可得a3?a1a4，
2∴(a1?4)?a1(a1?6)，解得a1??8.
∴Sn??8n?n(n?1)981?2?n2?9n?(n?)2?. 224根据单调性，可知当n?4或5时，Sn取到最小值，最小值为?20. 故选：D. 【点睛】
本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当n?4或5时同时取到最值.
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2?a6?a11?a20?3，则S21的值为（ ）
A．63 【答案】C 【解析】 【分析】
B．21 C．?63 D．21
根据等差数列性质，原式可变为?a2?a20??(a6?a16)?a11?3，即可求得
S21?21a11??63.
【详解】
∵a2?a6?a11?a16?a20?3， ∴?a2?a20??(a6?a16)?a11?3， ∴a11??3，∴S21?21a11??63， 故选：C． 【点睛】
此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.
5．已知等比数列{an}，an＞0，a1=256，S3=448，Tn为数列{an}的前n项乘积，则当Tn取得最大值时，n=（ ） A．8 【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列{an}的公比为q，由an＞0，可得q＞0．根据a1＝256，S3＝448，可得256（1+q+q2）＝448，解得q．可得an，Tn，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】
设等比数列{an}的公比为q，∵an＞0，∴q＞0． ∵a1＝256，S3＝448， ∴256（1+q+q2）＝448， 解得q?B．9
C．8或9
D．8.5
1． 212n?1∴an＝256?()8
7
?29﹣n．
＝2
8+7+…+9﹣n
n?8?9?n?2289??17?[?n?)2??24??2Tn＝2?2?……?2
9﹣n
?2?2．
∴当n＝8或9时，Tn取得最大值时， 故选C． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．数列?an?的通项公式为an?n?cn?N条件． A．必要而不充分 【答案】A 【解析】 【分析】
B．充要
???．则“c?2”是“?a?为递增数列”的（ ）
nC．充分而不必要 D．即不充分也不必要
根据递增数列的特点可知an?1?an?0，解得c?n?1，由此得到若?an?是递增数列，则23，根据推出关系可确定结果. 2【详解】 c?若“?an?是递增数列”，则an?1?an?n?1?c?n?c?0， 即?n?1?c???n?c?，化简得：c?n?又n?N?，?n?则c?2?221， 2133?，?c?， 222?an?是递增数列，?an?是递增数列?c?2，
?“c?2”是“?an?为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A. 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
7．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且Sn为数列{bn}的前n项和.若a2＝1，a10＝16且a6＝b6，则S11＝（ ） A．20 【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16列式求得q2，进一步求出a6，可得b6，再由等差数列的前n项和公式求解S11. 【详解】
设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16， 得q?8B．30 C．44 D．88
a10?16，得q2＝2. a24∴a6?a2q?4，即a6＝b6＝4，
又Sn为等差数列{bn}的前n项和，
∴S11??b1?b11??11?11b26?44.
故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题.
8．已知等比数列?an?的前n项和为Sn，若A．10 【答案】C 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质可将已知等式变为【详解】 由题意得：
B．7
111???2，a2?2，则S3?（ ） a1a2a3C．8
D．4
a1?a2?a3S3??2，解方程求得结果. 2a24111a1?a31a1?a2?a3S3???????2 ?S3?8 2a1a2a3a1a3a2a24本题正确选项：C 【点睛】
本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于S3的方程，属于基础题.
9．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( ) A．3 971 【答案】D 【解析】 【分析】
先对数据进行处理能力再归纳推理出第n组有n个数且最后一个数为n2，则前n组共1+2+3+…+n?【详解】
解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）…
B．3 972
C．3 973
D．3 974
n?n?1?2个数，运算即可得解．
则第n组有n个数且最后一个数为n2， 则前n组共1+2+3+…+n?n?n?1?2设第2019个数在第n组中，
个数，
?n?n?1??2019??2则?， ??n?1?n＜2019??2解得n＝64，
即第2019个数在第64组中，
则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974， 故选：D． 【点睛】
本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n项和公式，属中档题．
10．已知函数f?x??x?mx图象在点A1,f?1?处的切线l与直线x?3y?2?0垂直，
2????1??若数列??的前n项和为Sn，则S2018的值为（ ）
?f?n????2015 2016【答案】D 【解析】 【分析】
A．
B．
2016 2017C．
2017 2018D．
2018 2019求出原函数的导函数，得到y?f?x?在x?1时的导数值，进一步求得m，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出S2018的值． 【详解】
由f?x??x?mx，得f??x??2x?m，?f??1??m?2，
2因为函数f?x??x?mx图象在点A1,f?1?处的切线l与直线x?3y?2?0垂直，
2???f??1??m?2?3，解得m?1，?f?x??x2?x，则
11111?2???. f?n?n?nn?n?1?nn?1因此，S2018?1?故选：D. 【点睛】
1111112018???L???1??. 2232018201920192019本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．
11．已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若a2?a3?a10?9，则S9?（ ） A．3 【答案】D 【解析】
设等差数列?an?的首项为a1，公差为d. ∵a2?a3?a10?9
∴3a1?12d?9，即a1?4d?3 ∴a5?3 ∴S9?故选D.
B．9
C．18
D．27
9?(a1?a9)?27 2
12．已知等差数列?an?的公差d?0，且a1,a3,a13成等比数列，若a1?1，Sn为数列?an?2Sn?6的前n项和，则的最小值为（ ）
an?3A．4 【答案】D 【解析】 【分析】
由题意得(1?2d)?1?12d，求出公差d的值，得到数列{an}的通项公式，前n项和，
2B．3
C．23?2 D．2
2Sn?6从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
an?3【详解】
解：Qa1?1，a1、a3、a13成等比数列，
?(1?2d)2?1?12d． 得d?2或d?0（舍去），
?an?2n?1，
?Sn?n(1?2n?1)?n2， 222Sn?62n2?6n2?3?n?1??2?n?1??4????． an?32n?2n?1n?1令t?n?1，则
2Sn?644?t??2?2t??2?2 an?3tt当且仅当t?2，即n?1时，?故选：D． 【点睛】
2Sn?6的最小值为2．
an?3本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．
213．在递减等差数列{an} 中，a1a3?a2?4．若a1?13，则数列{1}的前n项和的最anan?16 13大值为 ( ) A．
24 143B．
1 143C．
24 13D．
【答案】D 【解析】
2设公差为d,d?0 ，所以由a1a3?a2?4，a1?13，得
13(13?2d)?(13?d)2?4?d??2 （正舍），即an?13?2(n?1)?15?2n ， 11111?1???(?) ，所以数列?因为?的前n项anan?1(15?2n)(13?2n)22n?152n?13?anan?1?和等于
1111116(??)?(??)? ，选D. 2132n?132132?6?1313点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如??c?? (其中?an?是各项均不为零的等差数
?anan?1?列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类
11. 隔一项的裂项求和，如或
(n?1)(n?3)n(n?2)
14．在等比数列?an?中，已知a2?9,a5?243，那么?an?的前4项和为（ ）. A．81 【答案】B 【解析】 【分析】 根据
B．120
C．121
D．192
a5?q3求出公比，利用等比数列的前n项和公式即可求出. a2【详解】
Q
a5?q3?27, a2? q?3
a1(1?q4)3(1?34)? S4???120.故选：B
1?q1?3【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，属于中档题.
15．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10?10,S30?30,则S20= A．10 【答案】B 【解析】 【分析】
由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列即（S20﹣S10）2＝S10?（S30﹣S20），代入可求． 【详解】
10由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列，且公比为q
B．20 C．20或-10 D．-20或10
∴（S20﹣S10）2＝S10?（S30﹣S20）即?S20?10??10?30?S20? 解S20 =20或-10（舍去） 故选B． 【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质（若Sn为等比数列的前n项和，且Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用
2
16．在各项都为正数的等比数列{an}中，若a1?2，且a1?a5?64，则数列
??an??的前n项和是（ ） ?(an?1)(an?1?1)?A．1?12n?1?1【答案】A 【解析】
B．1?1 2n?1C．1?1 n2?1D．1?1 2n?12由等比数列的性质可得：a1a5?a3?64,?a3?8，
则数列的公比：q?a38??2， a12n?1n数列的通项公式：an?a1q?2，
an2n11?n??故：
?an?1??an?1?1?2?12n?1?12n?12n?1?1，
??????an??则数列??的前n项和是：
???an?1??an?1?1???1??11?1?1?1?1????L???1?. ?1??2??n?23n?1n?12?12?12?12?12?12?12?1??????本题选择A选项.
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
??2???m?fx?x?axfx?2x?117．设函数??的导数为??，则数列???n?N?的前n项
?f?n????和是（ ） A．
n n?1B．
2n n?1C．
2n n?1D．
2?n?1? n【答案】B 【解析】 【分析】
m函数f(x)?x?ax的导函数f?(x)?2x?1，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可
??2???am求出，，利用裂项相消法求出??n?N的前n项和即可．
??f?n?????【详解】
Qf?(x)?mxm?1?a?2x?1，
\\a=1，m?2，?f(x)?x(x?1)，
2211??2(?)， f(n)n(n?1)nn?111111112n?Sn?2[(?)?(?)?L?(?)]?2(1?)?，
1223nn?1n?1n?1故选：B． 【点睛】
本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用．
18．正项等比数列?an?中的a1、a4039是函数f?x??13x?4x2?6x?3的极值点，则3log6a2020?（ ）
A．?1 【答案】B 【解析】 【分析】
B．1
C．2 D．2
根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出a1a4039?6，再由等比数列的性质可得. 【详解】
解：依题意a1、a4039是函数f?x??13x?4x2?6x?3的极值点，也就是3f??x??x2?8x?6?0的两个根
∴a1a4039?6
又?an?是正项等比数列，所以a2020?a1?a4039?6 ∴log6a2020?log66?1.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.
19．已知数列?an?的首项a1?2,an?1?an?6an?2?9，则a27?（ ） A．7268 【答案】C 【解析】 【分析】
由an?1?an?6an?2?9得an?1?2?(an?2?3)2，所以构造数列算出an?2?(3n?1)2，求出a27. 【详解】
易知an?0，因为an?1?an?6an?2?9，所以an?1?2?(an?2?3)2， 即an?1?2?an?2?3，
B．5068
C．6398
D．4028
?an?2为等差数列，
??an?2是以3为公差，以2为首项的等差数列.
?所以an?2?3n?1,an?2?(3n?1)2，即a27?802?2?6398. 故选 ：C 【点睛】
本题主要考查由递推公式求解通项公式，等差数列的通项公式，考查了学生的运算求解能力.
20．已知数列?an?的前n项和为Sn，且a1?2，an?1?（ ）
n?2Sn（n?N*），则Sn?nA．2n?1?1 【答案】B 【解析】 【分析】
B．n?2n C．3n?1 D．2n?3n?1
an?1n?2?2?,再利用累乘法求出an?(n?1)?2n?1，即得Sn. 由题得ann?1【详解】 由题得Sn?nan?1(n?1)anna(n?1)an,?Sn?1?,?an?n?1?,（n?2） n?2n?1n?2n?1an?1n?2?2?,（n?2） 所以ann?1由题得a2?6,?aa26n?2,（n?1）. ??3，所以n?1?2?ann?1a12ana23a34a45n?1?2?,?2?,?2?,L，?2?, 所以a12a23a34an?1nann?1n?1?2?,?an?(n?1)?2n?1. 所以a12所以Sn?故选：B 【点睛】
本题主要考查数列通项的求法，考查数列前n项和与an的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
n?(n?2)?2n?n?2n. n?2
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