2018年全国高中数学联赛河北预赛试题及详解

11.【解析】证明：a?a?a2?3a3?3a，

同理b?b?b2?3b3?3b，c?c?c2?3c3?3c，

三式相加：2(a?b?c)?a2?b2?c2?3(a?b?c)?9?(a?b?c)2， ∴2(a?b?c)?(a?b?c)2?a2?b2?c2?2(ab?bc?ac)， ∴ab?bc?ac?a?b?c；

又(a?b?c)2?(a?b?c)(1?1?1)?9，∴a?b?c?3， 综上可得ab?bc?ac?a?b?c?3.

12.【解析】（1）证明：∵x，y均为正数，故总存在实数m，n使得x?a，y?am333n ?a?1?，

xamm?n∴f()?f(n)?f(a)?(m?n)f(a)?m?n，

ya又f(x)?f(y)?f(am)?f(an)?mf(a)?nf(a)?m?n， ∴f??x???f?x??f?y?. ?y?x1x（a?1，??0）， ?1，故可令1?a?，

x2x2（2）证明：设x1,x2??0,???，且x1?x2，则

则由（1）知f?x1??f?x2??f??x1???f(a)??f(a)???0， ??x2?即f?x1??f?x2?.∴f(x)在?0,???上单调递增.

t2?4)?f(a)，又f(x)在?0,???上单调递增， （3）解：∵f(a)?1故原不等式化为f(tt2?444t2?4?a对于t?0恒成.∵?t??2t??4.∴（当且仅当t?2时“=”成立）. tttt∴a?4，又a??1,???，∴a??1,4?. 13.【解析】（1）由an?1?12n?1an?n?1(n?N*)知：2n?1an?1?2nan?2n?1(n?N*)， 22令bn?2nan，则b1?1且bn?1?bn?2n?1(n?N*).

由bn?(bn?bn?1)?(bn?1?bn?2)?????(b2?b1)?b1?(2n?1)?????3?1?n2，

n2得an?n.

212223242(n?1)2n2?n， （2）由题意知：Sn?1?2?3?4????????n?1222222112223242(n?1)2n2?n?1， 所以Sn?2?3?4?5????????222222n2(2n?1)n2113579?n?1， 两式相减得Sn??2?3?4?5????????n2222222213579(2n?1)?2?3?4?5????????， 222222n2n?3再利用错位相减法求得Tn?3?. n2设Tn?2n?3n2n2?4n?6所以Sn?6?n?1?n?6?. n22214.【解析】（1）证明：设AB?c，BC?a，AC?b. 在?ABC中，AD为?BAC的平分线，

BDABBDABBDc???，∴，∴， DCACBD?DCAB?ACab?caca∴BD?，又BM?，

b?c2∴

BD?BMa2由BP?BA?BD?BM得BP?， ?AB2(b?c)a2由CQ?CA?CM?CD得CQ?，因此CQ?BP.

2(b?c)（2）证明：连接BQ、PC，并设X、Y分别为BQ、PC的中点，易证XN平行且等于

MY，所以四边形NXMY为平行四边形，由CQ?BP知NX?NY，所以四边形NXMY为菱形.从而MN平分?XNY，又AD平分?BAC，AB//NX，AC//NY，所以

MN//AD.