2015数学科精编模拟题（体育）

参考答案

一、选择题：BCAC BBAD. 解析：8.取n=4验证易得.

二、填空题：9.(5，14)；10. 2；11.x?17ln3；12. ②③④ ；13. ；14.(11)，；15. 2221?3

13. |ax?y|的最小值为0，等价为ax?y?0与约束区域有交点， 作出不等式组对应的平面区域，如图易得：amax?3,amin?1， 214．两曲线的普通方程分别为y?3?2x(x?1)，y?x2(?2?x?2)， 由x?2x?3?0得x?1或x??3（其中x??3不合舍去）由x?1得y?1， 即两曲线的交点为(1,1). 三、解答题：

16.解：（1）解法1：由sinA=2sinB，根据正弦定理得a?2b，

又∵a?b?2, ∴a?4,b?2 ，

2a2?c2?b216?16?47???0， 由余弦定理得cosB?2ac2?4?48sinB?1?cos2B?15， 8∴S△ABC=

1115acsinB??4?4??15． 228解法2：由sinA=2sinB，根据正弦定理得a?2b，

又∵a?b?2, ∴a?4,b?2 ，

∵a?c?4，∴△ABC为等腰三角形，作底边AC的高BD,D为垂足，则D也是AC的中点， ∴BD?∴S△ABC=(2) ∵cosA?bAB2?AD2?c2?()2?16?1?15，

211AC?BD??2?15?15. 221115?0,∴sinA?1?cos2A?1?, ?4164∴sinB??115sinA?，∵b?c，∴B?C,∴0?B?,

2285

∴cosB?1?sinB?1?2157?, 6481515sinAsinB15∴tanA?, ?4?15,tanB??8?17cosAcosB74815315tanA?tanB7??∴tan(A?B)?．

1?tanAtanB11151?15?715?1bc1b?c?a12222变式1：（1）∵a?b?c?bc，由cosA???，

22bc2bc4222（2）∵cosA?0，∴0?A??2,∴sinA?1?cosA?1?2115, ?164由sinA=2sinB，得sinB??115，且∵a?2b，∴A>B，∴0?B?, sinA?228157?， 6481515， ?48∴cosB?1?sinB?1?2∵sin2A=2sinAcosA=2??cos2A=2cosA-1=?2

147， 8∴cos(2A?B)?cos2AcosB?sin2AsinB=??77151517????... 888832???变式2：（1）由m?n得sinA=2sinB，根据正弦定理得a?2b，-----------------①

???2a?b）?c, ------------------------② 又n//p得（??c2?(a?b)2?5，-------------③ ∵|p|?5 ∴16由②③联立消去(a?b)解得c?4，代入②得a?b?2，----------------④ ①④联立解得a?4,b?2 ，

a2?c2?b216?16?47???0， 由余弦定理得cosB?2ac2?4?486

∴sinB?1?cos2B?15， 8∴S△ABC=

1115acsinB??4?4??15． 2281115?0,∴sinA?1?cos2A?1?, ?4164(2) ∵cosA?∴sinB??115，∵b?c，∴B?C,∴0?B?, sinA?2282∴cosB?1?sinB?1?157?, 64817151511????. 484816（A?B)=cosAcosB?sinAsinB?∴cos17.解：（1）由茎叶图知分数在[50,60)的人数为4，[60,70)人数为8，[70,80)人数为10，

4?32，

0.00125?10∴分数在[80，100]的人数为：32?4?8?10?10，

105?； ∴频率为

3216故总人数为

（2）∵分数在[80,90)的人数为6，分数在[90,100]的人数为4， ∴X的可能取值为：0,1,2,3

321C6C6C611∵P(X?0)?3?,P(X?1)??, 3C106C102413C6C63C41P(X?2)?3?,P(X?3)?3?,

C1010C1030∴X的分布列为： 0 1 2 X 3 P(X) 1131 62103011316?3??. 数学期望EX?0??1??2?6210305备选1：解：（1）记A0表示事件：“取出的2件产品中无次品”，

“取出的2件产品中恰有1件是次品”． A1表示事件：

则A0，A1互斥，且A?A0?A1，故：

7

2P(A)?P(A0?A1)?P(A0)?P(A1)?(1?p)2?C1?1?p=0.91--------4分 p(1?p)2即p2?0.09．∵p?0

∴p?0.3．------------------------------------------------------------------------------------6分 （2）?的可能取值为0，1，2．------------------------------------------------------------7分 若该批产品共100件，则由（1）知其中次品有100?0.3?30件，---------------8分

2C70161故P(??0)?2?，-----------------------------------------------------------------9分

C1003301C1C14P(??1)?70230?，------------------------------------------------------------------10分

C100332C3029．------------------------------------------------------------------11分 P(??2)?2?C100330所以?的分布列为

? P 0 1 2 161 33014 3329 330

------12分

18.解：（1）证明：在图1中连结BE，∵AB=AE=1，DA⊥AB，

∴△EAB为等腰直角三角形， ∴BE=2，又BC=2，CE=2，∴△BCE是等腰直角三角形， ∴BC⊥BE，∠AEC=∠AEB+∠BEC=90°， ∴CE⊥AD，

在图2中，∵CE⊥DE，CE⊥AE，DE∩AE=E， ∴EC⊥平面ADE，又EC?平面ABCD， ∴平面DAE⊥平面ABCE.

（2）由（1）知∠DEA为平面CDE与平面ABCE

所成的二面角的平面角，即∠DEA=?，在平面ADE内过点D作

DO⊥AE于O，∵平面DAE⊥平面ABCE，且平面DAE∩平面ABCE=AE, ∴DO⊥平面ABCE，连结BO，在∠OBD为DB与平面ABCE所成的角， 在Rt△DOE中，DO=sin?， ∴V?S梯形ABCE?13(AB?CE)AE?， 22131???sin??sin?，∵0???，且sinx在(0,]上单调递增， 32233

∴当???3时，V取得最大值，这时△ADE为等边三角形，

∴O为AE的中点，∴DO=3, 28