2015数学科精编模拟题（体育）

由（1）易知AB⊥AD，∴DB=2, ∴sin?OBD?OD36. ??DB224变式1：解：（1）证明：在图1中连结BE，∵AB=AE=1，DA⊥AB，

∴△EAB为等腰直角三角形，∴BE=2， 又BC=2，CE=2，∴△BCE是等腰直角三角形，

∴BC⊥BE，∠AEC=∠AEB+∠BEC=90°，

∴CE⊥AD，

在图2中，∵平面CDE⊥平面ABCE，平面CDE∩平面ABCE=CE， ∴DE⊥平面ABCE，∵BC?平面ABCE，∴DE⊥BC， 又DE∩BE=E，∴BC⊥平面BDE，又BC?平面BCD， ∴平面BDE⊥平面BDC.

(2)由（1）知，图2中AE，EC，DE两两互相垂直，故以点E为 坐标原点，AE所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如右图示， 则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，D(0，0，1)，

????1????????????24 ∴DC?(0,2,?1),EB?(1,1,0),又DF?DC得F(0,,)，

555??????24 ∴EF?(0,,),设平面BEF的一个法向量为m?(a,b,c)，

55???????a?b?0,????m?EB?0,?由??????令c?1得b??2,a?2，即m?(2,?2,1)， ??2?4b?c?0.?m?EF?0.??5?5????由（1）知BC?(?1,1,0)为平面BDE的一个法向量，设所求的二面角的大小为?， ???????2?222m?BC?|?||?则cos??|??????.

34?4?1?1?1|m|?|BC|即二面角F-BE-D的余弦值为22. 3备选：解：（1）证明：取A1C1的中点D1，连结AD1，D1B1， ∵AD//DC11,∴四边形ADC1D1为平行四边形

∴AD1//DC1

∵AD1?平面BDC1，DC1?平面BDC1， ∴AD1//平面BDC1

同理B1D1//平面BDC1 又AD1∩B1D1=D1， ∴平面AB1D1//平面BDC1 ∵AB1?平面AB1D1， ∴AB1//平面BDC1.

(2)解法1：设AB=1，AA1=x，以点D为坐标原点，AC所 在的直线为x轴，DB所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如

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图示，则D(0，0，0)，A(?,0，0),C(,0，0),B(0，，0)，

121232B1(0,13,x)，C1(,0,x)，

22????13?????13∴AB1?(,,x)，BC1?(,?,x)，

2222?????????1322若AB1?BC1，则AB1?BC1?0???x?0，解得x?，

442即当

AA12时，AB1?BC1. ?AB2?????????解法2：设AB=1，AA1=x，若AB1?BC1，则AB1?BC1?0， ???????????????????????????????∴AB1?(BB1?BC11)?0?(AA1?AB11)?(BB1?BC11)?0, ????????????????????????????????????即AA1?BB1?AA1?BC11?AB11?BB1?AB11?BC11?0,

∵AA1?B1C1,A1B1?B1B,

∴x?0?0?1?1?cos120?0,解得x?2?2， 2即当

AA12时，AB1?BC1. ?AB2AA12， ?AB2（3）设AB=1，由（2）知，当AB1?BC1时，

????????132∵CB?(?,,0),AC?(1,0,) 1222?设平面A1BC的一个法向量为n?(a,b,c)，

?13??????a?b?0,??3?n?CB?0,?22由??????，令c?2，得a??1,b??， ??3?0.?2??n?AC1a?c?0??2?????33,2)，∵DB?(0,即n?(?1,?,0)是平面A1AC的法向量， 3210

?????n?DB??????|?设平面A1C与平面A1CB所成锐二面角大小为?，则cos??|??|n|?|DB|12131??1?32?10. 1019.解：（1）设动圆圆心为G(x,y)(x?0)，

∵?G在y轴右侧与y轴相切，同时与?F2相外切，

22∴|GF2|?x?1，从而(x?1)?y?x?1，

整理得曲线T的方程为：y2?4x(x?0). (2)设P(x0,y0),C(x1,y1),D(x2,y2), 由y2?4x(x?0)得当y?0时，y?2x， ∴y'?1， x∴切线CB的方程为：y?y1?21(x?x1)，即y?(x?x1)，----------①

y1x121(x?x2),即y?(x?x2)，---------②

y2x2切线DA的方程为：y?y2?∴B点的坐标为(?x1,0)，A点的坐标为(?x2,0)， ∴直线AC的方程为：y?y1(x?x2)，----------------③

x1?x2直线BD的方程为：y?y2(x?x1)，------------------④

x1?x2∵点P为切线BC、AD的交点，∴点P的坐标满足方程①、②， 即y0?1122(x0?x1)，y0?(x0?x2)?(x0?x1)?(x0?x2)，-----⑤

y1y2y1y2x1y2?x2y1，由⑤得x1y2?x2y1?x0(y1?y2)，

y1?y2又③④联立消去y得x?∴x?x0，即点E的横坐标为x0，与点P、F的横坐标相同， ∴P、E、F三点共线.

变式1：解：（1）设动圆圆心为D(x,y)(x?0)，∵?D在y轴右侧与y轴相切，同时与?F2相外切，

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22∴|DF2|?x?1，从而(x?1)?y?x?1，整理得曲线C的方程为：y2?4x(x?0).

（2）由曲线E为椭圆知，c?1，设P(xP,yP),依题意得：

2?x?,49?22P?(x?1)?y?,322625??PP 于是|PF2|?(?1)2?(9解得?)?, ?333?y?26.?y2?4x.?PPP?3?由椭圆的定义得2a?|PF1|?|PF2|?75??4,∴a?2，b2?a2?c2?3， 33x2y2??1. ∴曲线E的标准方程为43(3)由题意知F2(1，0)，

①当AB、GH的斜率存在时，设AB的斜率为k，则GH的斜率为?1， kx2y2??1得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0， 则lAB:y?k(x?1)代入椭圆方程43?3kxA?xB4k24k2?3ky?k(x?1)??M(,)， 故xM?，，于是MM22223?4k23?4k3?4k3?4k∵AB⊥GH，∴将点M坐标中的k换成?143k,2). ，即得点N的坐标为(2k3k?43k?4当k??1时，kMN3k?3k?223k7k47k3k?43?4kl:y??(x?)， ，此时??MN44k23k2?44(1?k2)3k2?44(1?k2)?23k?43?4k2整理得：y?47k4(,0). (x?)，可知直线MN过定点274(1?k)744

，也过点(,0) 77

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当k??1时，易得直线MN的方程为x?②当弦AB或GH的斜率不存在时，易知直线MN为x轴，也过点(,0)， 综上得直线MN过定点(,0).

20.解：（1）证明：当x?(??,?2)时，f(x)??设x1?x2??2，则

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