西南大学 则a必在上述序列的某两项之间，及存在一个整数q使得qb≤a<(q+1)b成立。令a－qb＝r，则r为整数，且a＝qb＋r，而设，所以正整数或零，故 西南大学网络与继续教育学院课程考试答题卷 是满足（2）的另两个整数，则 ，于是。如果，则，故。由于r，都是小于b的，这是一个矛盾。因此，从而。 学号： 姓名： 层次： 类别： 网教 专业： 数学与应用数学（数学教育） 201 6 年 6 月 课程名称【编号】： 初等数论 【 0346 】 A 卷 题号 得分 （横线以下为答题区） 一 二 三 四 五 总分 评卷人 2. 叙述公因数的概念。 答：设a,b是两个整数，若整数d是他们之中每一个的因数，那么d就叫做a,b的一个公因数。整数a,b的公因数中最大的一个叫做它们的最大公因数。 3. 叙述模m的最小非负完全剩余系的定义。 答： 设m是一个给定的正整数，则全部整数可以分成m个集合，记作是由一切形如，其中一、填空题（每小题2分，共14分） 1. 6除19的商是 3 。 2. [9.9] = 9 。 3. 44的标准分解式为 11×2 。 4. 3的个位数是 9 。 5. 9的所有正因数的和是 13 。 6. 模9的最小非负简化剩余系是 0,1,2,3,4,5,6,7,8 。 7. 大于6且小于18的质数是 7,11,13,17 。 二、简答题（每小题5分，共30分） 1. 叙述带余数除法定理的内容。 答： 若a，b是两个整数，其中b>0，则存在两个整数q及r，使得 a=bq+r， （2） 成立，而且q及r是唯一的。 证 作整数序列 …，－3b，－2b，－b，0，b，2b，3b，… 102的整数所组成的，这些集合具有下列性质： （1） 每一整数必包含在而且仅包含在上述的一个集合里面； （2）两个整数同在一个集合的充要条件是这两个整数对模m同余。 4. 写出两条有关整除的基本性质。 答：（1）若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数。即：若b| a，c| b，则 c|a。 （2）若a，b都是m的倍数，则也是m的倍数。 5. 203是否是5的倍数，为什么？ 答：203是5的倍数，因为2+0+3=5是5的倍数。 6. 叙述孙子定理的内容。 答：设m1，m2，?，mk是k个两两互质的正整数， m?m1m2mk，m?miMi，i?1,2,,k，则同余式组
西南大学 ?x?b1(modm1)?x?b(modm)?22 ??????x?bk(modmk)解：因为（2,7）=1,1?3，所以同余式2x?3(mod7)只有1个解。 由2x-7y=3得一个解x0=5,y0=1所以同余式的解为x?5(mod7) 四、证明题（每小题8分，共16分） 1. 证明：若a|b，b|c，则a|c。 的解是 ???x?M1M1b1?M2M2b2???MkMkbk(modm)， ??其中Mi是满足MiMi?1(modmi)的任一个整数，i＝1，2，…，k。 证明：由a?b,b?c及整除的定义知存在整数p,q 使得b=ap,c=bq 因此c=(ap)q=apq Pq是一个整数 所以a?c 2. 证明：若a?b(modm)，则an?bn(modm)。 证明：由a?b(modm),得（a-b）?m 由整除的性质的an-bn=(a-b)n?m 从而an-bn?0(modm) 所以an?bn(modm)
三、计算题（每小题8分，共40分） 1. 求99与22的最大公因数。 解：用辗转相除法：99=22×4+11 22=11×2+0 所以99与22的最大公因数是11。 2. 求5！的标准分解式。 解：由公式n!=1×2×3……×n 所以5！=1×2×3×4×5 =1×2×3×5 3. 求1510除以7的余数。 解：因为15?1（mod7）,所以1510?110?1?8（mod7）, 即1510除以7的余数是8。 4. 求不定方程3x?y?1的一切整数解。 解：因为（3,1）=1，1?1，所以有整数解。 3x+y=1可以转化为y=1-3x。当x=0时，y=1 所以y=1-3x的一切整数解为x=0,?1，?2…。 5. 解同余式2x?3(mod7)。 3西南大学
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