设1﹣x=t（＜t＜1），则x=1﹣t， S=≤（3﹣2
）=
=（3﹣2t﹣） ， ，即x=1﹣
时，
．
当且仅当2t=，即t=
直角三角形地块AEF的面积S最大，且为
【点评】本题考查函数的最值的求法，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，同时考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
18．设函数f（x）=
，（a＞0，b∈R）
（1）当x≠0时，求证：f（x）=f（）；
（2）若函数y=f（x），x∈[，2]的值域为[5，6]，求f（x）；
（3）在（2）条件下，讨论函数g（x）=f（2x）﹣k（k∈R）的零点个数．
【考点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数零点的判定定理． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）把f（x）中的x换上便可求出（2）将f（x）变成
，整理之后便可得出f（x）=
；
，求导数，判断导数符号：x∈[）时，f′（x）
＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0，从而得出x=1时f（x）取到最小值5，并且f（）=f（2）
=6，从而得到，这样即可解出a=2，b=1，从而得出f（x）=；
（3）先求出g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k，根据（2）便可判断g（x）的单调性，从而得出g（x）最小值为5﹣k，这样讨论5﹣k和0的关系即可得出g（x）零点的情况．
【解答】解：（1）证明：；
∴；
（2），；
∵，a＞0；
∴时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0；
∴x=1时f（x）取最小值6，即2a+b=5； ∴f（）=6，或f（2）=6；
∴；
解得a=2，b=1； ∴
；
（3）g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k； y=2x为增函数；
∴由（2）知，2x＜1，即x＜0时，g（x）单调递减，x＞0时，g（x）单调递增；
∴x=0时，g（x）取到最小值5﹣k，x趋向正无穷和负无穷时，g（x）都趋向正无穷； ∴①5﹣k＜0，即k＞5时，g（x）有两个零点； ②5﹣k=0，即k=5时，g（x）有一个零点； ③5﹣k＞0，即k＜5时，g（x）没有零点．
【点评】考查已知f（x）求f[g（x）]的方法，根据导数符号判断函数的单调性及求函数在 闭区间上的最值的方法，复合函数单调性的判断，以及函数零点的概念及零点个数的判断．
19．设数列{an}，{bn}，{cn}满足a1=a，b1=1，c1=3，对于任意n∈N*，有bn+1=cn+1=
．
，
（1）求数列{cn﹣bn}的通项公式；
（2）若数列{an}和{bn+cn}都是常数项，求实数a的值；
（3）若数列{an}是公比为a的等比数列，记数列{bn}和{cn}的前n项和分别为Sn和Tn，记Mn=2Sn+1﹣Tn，求Mn＜对任意n∈N*恒成立的a的取值范围．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用． 【分析】（1）根据条件建立方程关系即可求出求数列{cn﹣bn}的通项公式；
（2）b1+c1=4，数列{an}和{bn+cn}都是常数项，即有an=a，bn+cn=4，即可得到a=2；
（3）由等比数列的通项可得an=an，由Mn=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2bn+1﹣cn）=2+a+a2+…+an，由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．运用等比数列的求和公式和不等式恒成立思想，计算即可得到a的范围． 【解答】解：（1）由于bn+1=
，cn+1=
．
cn+1﹣bn+1=（bn﹣cn）=﹣（cn﹣bn），
即数列{cn﹣bn}是首项为2，公比为﹣的等比数列，
所以cn﹣bn=2（﹣）n﹣1； （2）bn+1+cn+1=（bn+cn）+an，
因为b1+c1=4，数列{an}和{bn+cn}都是常数项， 即有an=a，bn+cn=4， 即4=×4+a，解得a=2；
（3）数列{an}是公比为a的等比数列，即有an=an， 由Mn=2Sn+1﹣Tn=2（b1+b2+…+bn）﹣（c1+c2+…+cn） =2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2bn+1﹣cn） =2+a+a2+…+an，
由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1． 由2+
＜对任意n∈N*恒成立，
即有2+≤，
解得﹣1＜a＜0或0＜a≤．
故a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，]．
【点评】本题主要考查数列的应用，等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式恒成立思想，考查学生的运算能力．
20．设f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2． （1）求函数f（x）的最小值； （2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求实数a的取值范围； （3）若使方程f（x）﹣g（x）=0在x∈[e
，en]（其中e=2.7…为自然对数的底数）上有
解的最小a的值为an，数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn＜3．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；数列的求和． 【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列． 【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得单调区间和极值，即可得到最小值； （2）由题意可得a＜
在（0，+∞）成立，设h（x）=
，求出导数，求得单调区
间和极值，最大值，即可得到a的范围； fx）=0，（3）方程（﹣g（x）即为a=
在x∈[e
en]上有解，，求得h（x）在x∈[e
，
en]上的最小值，可得an=（1+n）e﹣n，由错位相减法求得Sn，再由不等式的性质即可得证． 【解答】解：（1）f（x）=x2lnx的导数为f′（x）=2xlnx+x=x（1+2lnx），x＞0， 当x＞
时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜
时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=处取得极小值，也为最小值﹣；
（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x）， 即为a＜
在（0，+∞）成立，
设h（x）=，h′（x）==﹣，
当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）递减；当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）递增． 即有x=1处取得极大值，也为最大值1， 则a＜1，即a的取值范围是（﹣∞，1）； （3）证明：方程f（x）﹣g（x）=0，即为a=由（2）可得h（x）=由e
在（e
在x∈[e
，en]上有解，
，1）递增，在（1，en]递减，
＜en，可得x=en处取得最小值，且为（1+n）e﹣n，
前n项和为Sn=2e﹣1+3e﹣2+4e﹣3+…+（1+n）e﹣n， eSn=2e0+3e﹣1+4e﹣2+…+（1+n）e1﹣n， 相减可得，（e﹣1）Sn=2+e﹣1+e﹣2+e﹣3+…+e1﹣n﹣（1+n）e﹣n =1+
﹣﹣（1+n）e﹣n
化简可得Sn=
﹣
e﹣n（
+n+1）＜＜3．
故Sn＜3成立．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查不等式（或方程）成立的条件，注意运用参数分离和构造函数，考查等比数列的求和公式及数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．
21．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换， （1）求M﹣1；
（2）求直线4x﹣9y=1在M2的作用下的新曲线的方程． 【考点】几种特殊的矩阵变换．
【专题】对应思想；定义法；矩阵和变换． 【分析】（1）根据矩阵M，求出它的逆矩阵M﹣1；
（2）根据题意，求出M2以及对应M2[]的表达式，写出对应新曲线方程．
【解答】解：（1）∵M=[]，
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