复化梯形复化辛普森龙贝格自适应辛普森课程设计论文

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复化梯形复化辛普森龙贝格自适应辛普森课程设计论文

XX大 学 综 合 设 计 报 告 综合设计五 多方法求解数值积分 学生姓名： 学 号：年级专业： 指导老师：学 院： 评阅成绩：评阅意见： 成绩评定教师签名： 时间：提交日期：xx年X月 多方法求解数值积分 具体题目要求：用不同数值方法计算积分 (1) 取不同的步长，分别用复合梯形及复合辛普森公式计算积分，给出误差中关于的函数，并与积分精确值比拟两个公式的精度，是否存在一个最小的，使得精度不能再被改善？ (2) 用龙贝格求积计算完成问题(1); (3) 用自适应辛普森积分，使其精度到达。

1设计目的、要求 由积分学根本理论，定积分可由公式计算，但是对于一些无法找到原函数的函数（如等）不能通过牛顿—莱布尼兹公式计算，就必须得另寻它法。因此需要我们能够熟练地应用常用的数值积分计算方法（如机械求积、 公式等）并掌握结合数值计算软件（、 等）及计算机高级语言进行对应算法实现的技能。

熟练数学软件求解数学问题，掌握各种数学问题的求解方法。本设计主要是通过多种复合求积公式求解积分，主要包括复化梯度法、复化辛普森法、龙贝格以及自适应辛普森法等求解方法，利用软件编写相对应的算法进行求解，大大地提高了解题的速度。

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2设计原理 由积分中值定理我们可以知道在积分区间内存在一点，使得式子 成立。这个式子在于对于点的具 置一般是不知道的，因此难以准确算出的值。也就是不同算法求得平均高度，对应的就是一种不同的数值求积方法。更一般地，我们可以在区间上适中选取某些节点，然后用的加权平均得到平均高度的近似值，这样构造出的求积公式具有以下形式： 称为机械求积公式。

复合梯形公式、复合辛普森公式、龙贝格求积公式以及自适应辛普森公式都以此公式的根底，对积分区间进行变步长的划分求得近似的平均高度值，得到积分函数的近似值。也由于牛顿—柯特斯公式在时不具有稳定性，所以不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了我提高精度通常可把积分区间等分成为假设干个子区间，再在每个子区间上用低价求积公式，这就是复合求积方法。但是这样的积分求解方法也是存在不容无视的误差。因此需要在设计算法时考虑到算法存在的误差（舍入误差、截断误差等），并对误差作出分析。

3采用软件、设备 软件 4设计内容 第一步：复合梯形公式、复合辛普森公式算法 （一）、复合梯形公式计算积分 复化梯形公式的主要思想是利用假设干小梯形的 代替原方程的积分，利用微元法，可以求出坐标面上由函数与坐标轴围城的图像的 的近似值，符合了计算机计算存储的思想。下面，我们在探讨复化梯形公式的计算规律: 设

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将求积区间分成等份，那么一共有个分点，按梯形公式 计算积分值，需要提供个函数值。

这里代表步长，分点为，其中 （二）、复合辛普森公式计算积分 算法的根本思想是：把积分区间等分成假设干个子区间，而在每一个子区间上用辛普森 求积公式： 得到复合辛普森求积公式： 并且用软件来求解。

第二步：龙贝格算法 考虑积分，欲求其近似值，通常有复化的梯形公式、公式和公式。但是给定一个精度，这些公式到达要求的速度很缓慢。如何提高收敛速度，自然是人们极为关心的课题。为此，记，为将区间进行等分的复化的梯形公式计算结果，记，为将区间进行等分的复化的公式计算结果，记,为将区间进行等分的复化的公式计算结果。根据外推加速方法，可以得到收敛速度较快的积分法。其具体的计算公式为： 1、准备初值，计算 2、按梯形公式的递推关系，计算 3、按Romberg积分公式计算加速值 ， 4、精度控制。对给定的精度，假设 那么终止计算，并取为所求结果；否那么返回2重复计算，直至满足要求的精度为止。

第三步：自适应辛普森算法 复合求积方法通常适用于被积函数变化不太大的积分，如果在积分区间被积函数变化很大有的局部函数值变化剧烈而有的局部那么是变化平缓，如果此时还是将积分区间等分后