丰乐中学2013学年高二文科数学 选修1-2 §2.2.2 反证法 导学案
班级_________姓名_________学号_______________
【学习目标】
1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法； 2. 了解反证法的思考过程、特点; 3. 会用反证法证明问题. 【学习内容及程序】 一、课前准备
（预习教材P42~ P43，找出疑惑之处）
复习1：直接证明的两种方法: 和 ; 复习2：直接证明的两种方法的证明格式是什么?
二、新课导学
新知识点：
1.反证法的概念为:
2.反证法的理论依据是什么?:反证法的证明步骤是什么?
典型例题
例1 已知a?0,证明x的方程ax?b有且只有一个根.
变式1 证明在?ABC中,若?C是直角,那么?B一定是锐角
例2课本第43页例8.
变式2 求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60?.
练一练: 已知a,b,c均为实数，且a=x?2y?个大于0.
2222变式3. 已知下列方程:x?4ax?4a?3?0,x?(a?1)x?a?0,x?2ax?2a?0中至少有一个方程有实根,试求a的取值范围.
2?2,b=y?2z?2?3,c=z?2x?2?6,证明a,b,c中至少有一
三、总结提升
1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.
2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.
1
【学习评价】
1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60?”时，假设正确的是（ ） A．假设三内角都不大于60? B．假设三内角都大于60?
C．假设三内角至多有一个大于60? D．假设三内角至多有两个大于60?
2. 实数a,b,c不全为0等价于为 （ ） A．a,b,c均不为0
B．a,b,c中至多有一个为0 C．a,b,c中至少有一个为0 D．a,b,c中至少有一个不为0 3.设a,b,c都是正数，则三个数a?1b,b?1c,c?1a （ ）
A．都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2
4. 用反证法证明命题“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的假设为 . 5. “x?4”是“x2?4x?0”的 条件. 6. 如果x?12,那么x2?2x?1?0.
7. ?ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,求证:B?90?.
【课后自主检测】
1.已知a、b、c成等差数列且公差d?0，求证：
2. 证明2不是有理数.
1a、
1b、
1c不可能成等差数列
2
参考答案
变式3:假设即
?1?xy?2,1?x1?y,yxx?2
两个都大于等于2
1?y1?xy?1?yx?1?(x?y)?xyxy?4
?1?x?y?3xy 当x=1,y=3时,满足x+y>2,但1+x+y=5,3xy=9与1+x+y≥3xy矛盾
所以假设不成立, 所以
1?x1?y,yx中至少有一个小于2
【学习评价】 BDC
4. a,b,c中不是恰有一个偶数 5. 充分不必要
6.假设x2?2x?1?0 则x??1?2,?1?2?0?12,?1?2?0.4?12
与已知矛盾
所以假设不成立 所以x2?2x?1?0 7.假设B≥900 则a2?c2?b2 ?2b?21a?21c1a1?1c1)?41???8ac??22?(a?c)(
?222?(a?c)(?)?2ac?2?ac?自相矛盾,假设不成立
所以B<900
【课后自主检测】
1.[解析]? a、b、c成等差数列，?2b?a?c 假设则
2b1a?、
1a1b、
1c1c成等差数列，
22??(a?c)?4ac?(a?c)?0，
?a?c从而d?0与d?0矛盾，假设不成立
?1a、
1b、
1c不可能成等差数列
2.假设2是有理数
3
?2?mn(m,n为互质的正整数)
2?2?mn2,m2?2n2?m含有2的因数,设为m?2k,(k?N?)?2k2?n2
?n含有2的因数,?m,n存在公因数2 与m,n互质矛盾,假设不成立. 所以2不是有理数
4
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