阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(2015·娄底市名校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( ) 4
A．－5 34C．5 D．5 [答案] B
[解析] 解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2， a2123
∴cos2θ＝5a2＝5，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝5－1＝－5. cos2θ－sin2θ1－tan2θ2a
解法2：tanθ＝a＝2，cos2θ＝＝
cos2θ＋sin2θ1＋tan2θ3＝－5.
2．(2015·山东滕州一中月考)化简 π11πcosπ＋αcos2＋αcos2－α
3B．－5 的结果是( ) 9π
cosπ－αsin－π－αsin2＋αA．－1 C．tanα [答案] C
B．1
D．－tanα
－cosα·－sinα·－sinα
[解析] 原式＝＝tanα.
－cosα·sinα·cosα
π
3．(文)(2014·河南省实验中学期中)函数y＝sin(2x＋3)图象的对称轴方程可能是( ) ππA．x＝－6 B．x＝－12 πC．x＝6 [答案] D
ππkππ
[解析] 由2x＋3＝kπ＋2(k∈Z)得，x＝2＋12(k∈Z)，∴选D．
π
(理)(2015·沈阳市东北育才学校一模)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝3对称的是( ) πA．y＝sin(2x＋6)
π
B．y＝sin(2x＋3) π
D．x＝12
- 1 -
π
C．y＝sin(2x－3) [答案] D
π
D．y＝sin(2x－6) π
[解析] 把x＝3代入解析式，函数应取到最值，经检验D符合．
4．(文)(2015·河南八校联考)将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是( ) ππA．12 B．6 π2πC．3 D．3 [答案] D
ππ
[解析] y＝3cosx＋sinx＝2sin(x＋3)，向左平移m个单位得到y＝2sin(x＋m＋3)，此函数为奇π2π函数，∴m＋3＝kπ，k∈Z，∵m>0，∴m的最小值为3. π
(理)(2014·杭州七校联考)将函数y＝sin2x的图象向左平移4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( ) A．y＝cos2x B．y＝2cos2x π
C．y＝1＋sin(2x＋4) D．y＝2sin2x [答案] B [解析] y＝sin2x
π左移个单位
――→y＝sin2(x＋4)
π向上平移1个单位
――→y＝sin(2x＋2)＋1，
π
∵y＝sin(2x＋2)＋1＝cos2x＋1＝2cos2x，∴选B．
5．(2014·河北冀州中学期中)设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是(弧度)( ) A．1 B．4 C．π D．1或4 [答案] D
[解析] 设扇形半径为R，圆心角为α，则 2R＋Rα＝6 1???1 R2α＝2 2??2
44
由(2)得Rα＝R，代入(1)得2R＋R＝6，解之得R＝1或2，当R＝1时，α＝4，当R＝2时，α＝1.∴选D．
31
6．(2014·湖北省八校联考)已知α、β为锐角，cosα＝5，tan(α－β)＝－3，则tanβ的值为( )
- 2 -
1
A．3 B．3 913C．13 D．9 [答案] B
344
[解析] ∵cosα＝5，α为锐角，∴sinα＝5，tanα＝3， tanα－tanα－β
∴tanβ＝tan*α－(α－β)+＝ 1＋tanα·tanα－β41－－33＝41＝3. 1＋3×－3
7．(文)(2015·江西省三县联考)在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，则cosA的值为( ) 34A．5 B．5 C．0 D．1 [答案] B
[解析] 由正弦定理得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5， ∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k(k>0)，
b2＋c2－a216k2＋25k2－9k24
∴cosA＝＝＝5. 2bc2×4k×5k
(理)(2015·山西忻州四校联考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的3cb
高为6a，则b＋c的最大值是( ) A．8 B．6 C．32 [答案] D
D．4
c2＋b2－a2bcc2＋b2
[解析] c＋b＝bc，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA＝，① 2bc131
而条件中的“高”容易联想到面积，2a·6a＝2bcsinA，即a2＝23bcsinA，② 将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋3sinA)， bcππ
∴c＋b＝2(cosA＋3sinA)＝4sin(A＋6)，当A＝3时取得最大值4，故选D．
8．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 [答案] B
[解析] ∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B) ＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sin(A－B)＝0，∵0 - 3 - 列，则△ABC一定是( ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 [答案] D π2π [解析] ∵A、B、C成等差数列，∴B＝3，A＋C＝3， 3 又b2＝ac，∴sin2B＝sinAsinC，即sinAsinC＝4， 2π3π ∴sinAsin(3－A)＝4，∴sin(2A－6)＝1， πππ ∵0 ∴△ABC为等边三角形． 9．(2014·山东省德州市期中)已知△ABC中三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B＝30°，b＝1，c＝3，则△ABC的面积为( ) 33A．2 B．4 33C．2或4 [答案] C 3 [解析] ∵3sin30°＝2<1<3，∴△ABC有两解． 133 由sin30°＝sinC得，sinC＝2，∴C＝60°或120°， 3 当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝2； 13 当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝2×3×1×sin30°＝4，故选C． 10．(文)(2015·湖北百所重点中学联考)已知α为第三象限角，且sinα＋cosα＝2m，sin2α＝m2，则m的值为( ) 33A．3 B．－3 1C．－3 2 D．－3 3 D．2或3 [答案] B [解析] 把sinα＋cosα＝2m两边平方可得1＋sin2α＝4m2，又sin2α＝m2，∴3m2＝1，解得m33＝±3，又α为第三象限角，∴m＝－3. A－B (理)(2014·文登市期中)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2cos22cosB－sin(A4 －B)sinB＋cos(A＋C)＝－5，则cosA＝( ) 4A．－5 4B．5 - 4 -
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