2．若2x?1?4x?128，则x的值为_______ ．
（海南省竞赛试题）
3．已知实数a满足2004?a?a?2005?a，则a?2004＝_______ . 4．5的整数部分为a，小数部分为b，则(5?a)?b的值为____．
（广东省竞赛试题）
5．已知非零实数a，b满足2a?4?b?2?(a?3)b?4?2a，则a?b等于( )． A．－1
B．0
C．1
D．2
22 （“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）
6．已知a?2?1，b?3?2，c?6?2．则a，b，c的大小关系是( )．
D. b＜c＜a
A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. b＜a＜c 7．已知：
11?a?1，那么代数式?a的值为( )．
aa B．? A．
5 25 2 C．?5
D. 5
（重庆市竞赛试题）
8．下面有3个结论：
①存在两个不同的无理数，它们的差是整数； ②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；
③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数. 其中，正确的结论有( )个． A.0
B．1
C．2
D．3
（江苏省竞赛试题）
9．已知a2?2005是整数，求所有满足条件的正整数a的和．
（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）
6
10.设y?ax?b，a，b，c，d都是有理数，x是无理数. 求证：
cx?d(1) 当bc?ad时，y是有理数； (2) 当bc?ad时，y是无理数．
11.已知非零实数a，b满足2a?4?b?2?(a?3)b?4?2a.求a?b值．
（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）
2 7
专题12数余的扩充
———实数的概念与性质
1
例1 土 提示：由条件得a－2＝0,b＋4＝0,a＋b－2c＝0，则a＝2，b＝－4，c＝－1．故（ac）
4
b＝[2×（一1）]－4
＝116，116的平方根为土14
．
； 例2 B
例3 由??m－199＋n≥0?199－m－n≥0,得??m＋n≥199
?m＋n≤199
．∴m＋n＝199.
∴3m?5n?2?p?2m?3n?p?0，由非负数性质，得??3m?5n?2?p?0m?3n??0
?2解得p=201。
例4 已知等式整理，得??1a?11??1?34b?24?????2a?112b?19?20??3?0 因为a，b是有理数，所以1a?14b?2134?0且1192a?12b?120?0， ?3 解得?a?3?5 ??b?41522例5 111?111??111??111?x?y?zx2?y2?z2????x?y?z????2???xy?yz?xz???????x?y?z?? ??2?xyz2 =???111?x?y?z??
??故
11111111111x2?y2?z2?x?y?z，进一步 x2?y2?（x?y）2?x?y?1x?y. （1）可证明 111?111?2（a?b）2?(b?c)2?(c?a)2???a?b?b?c?c?a?? （2）令x =1，y=n，得1?1n2?1(1?n)2?1?1n?1n?1 S=??1?11-1?2??????1?12-1?3?????11??1??1?3-4???????1?2008-1?12009???2009-2009
8
故S的整数部分为2008.
222例6 ∵S?11?1?1?1?1?n?1???n?n?1???2?n(n?1)?1???n(n?1)???2?n(n?1)???1?n(n?1)?
?2 ∴S?1?n???1?n(n?1)???1?1n(n?1)?1???1?n?1?n?1?? ∴原式=1????1-1??11??11?12???1???2-3?????1???n?n?1???n?1?n?1?n2?2nn?1
A级
1. 2
2. 9 提示：a2??33?2?39,2?38?39?327?3，则b=39-2, b+2=39
故 ?b?2?3??39?3?9
3.
1681 4. 20052?3?2005?1 5. B 提示：由题知
A?BxA?B??y2x?y， 则
（A?B）?(A?B)(x?y)?(2A?B?x?y)2x?y,即2AA?B?3x2x?y，
故AA?B?3x4x?2y 6. B 7. B 8. C 9. 2
10. 原式=
11????1?10n?11????1?2?11????1=11????1?10n-11????1 n个n个n个n个n个 9
=
=1111?1?（10n-1）?3 ?1?99?9=33????????????n个n个n个n个??3a?5b?711. 由题中条件?
2a?3b?S?? ①×3 + ②×5 得 19a?21?5S ①×2 - ②×3 得 19b?14?3S
又∵a≥0，b≥0，则??21?5S?02114 解得-?S? 53?14-3S?0B组
3?x???x?y?052 1. - 提示：由条件?，解得?34?x?y?3?y??2?3?3?5?3? 故x + 2xy +1=???2???-??1?-
2?2?4?2?2
22. 2 提示：由2x?1?4x?128得2x?1?22?27，故有(x+1)+2x=7 ,所以x的值为2.
x3. 2005 提示：由条件得：a≥2005，则a?2005?2004，从而有： a - 2004 = 2005 4. 1
5. C 提示：由条件得：a≥3，则b?2?(a?3)b?0，a+b=1。 6. C 提示：因为
22
1111.故b ?6-2-??2-1?6-??2?1，而 ??6?-?22?1?3-22?0， ?2所以6?2?1，故c>a，因此b 221?1??1?7. D 由条件得：?a?1?0，∴a>0，??a????a??4 a?a??a?8. D 举例：3?1，3-1满足①②； 22 2 51，满足③ 339. 设a?2005?b，则b - a =2005，而2005 = 5×401,5,401均为质数，a，b为正整数，∴ 10
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