解这个不等式组，得18≤x≤20．
由于x只能取整数，∴x的取值是18，19，20．
当x=18时，30﹣x=12；当x=19时，30﹣x=11；当x=20时，30﹣x=10．
故有三种组建方案：方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，中型图书 角19个，小型图书角11个；方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．
（2）方案一的费用是：860×18+570×12=22320（元）； 方案二的费用是：860×19+570×11=22610（元）； 方案三的费用是：860×20+570×10=22900（元）． 故方案一费用最低，最低费用是22320元． 点评：此题主要考查了一元一次不等式组和一次函数在实际生活中的应用，解题的关键是首先正确理解题意，然后根据题目的数量关系列出不等式组解决问题，同时也利用了一次函数． 23、（2010?定西）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°． （1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
考点：扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值。 专题：几何综合题。 分析：（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明； （2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形OCD的面积． 解答：（1）证明：连接OC． ∵AC=CD，∠ACD=120°， ∴∠A=∠D=30°． ∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°． ∴∠OCD=90°．
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠A=30°， ∴∠1=2∠A=60°． ∴S扇形OBC=在Rt△OCD中，∵∴∴
∴图中阴影部分的面积为
．
．
．
．
，
点评：此题综合运考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法． 24、（2010?綦江县）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交
AB于E，DF平分∠EDC交（1）证明：EF=CF；
（2）当tan∠ADE=时，求EF的长．
BC于F，连接EF．
考点：解直角三角形；全等三角形的判定；勾股定理；直角梯形。 专题：计算题；证明题。 分析：（1）过D作DG⊥BC于G，由已知可得四边形ABGD为正方形，然后利用正方形的性质和已知条件证明△ADE≌△GDC，接着利用全等三角形的性质证明△EDF≌△CDF， （2）由tan∠ADE=根据已知条件可以求出AE=GC=2．设EF=x，则BF=8﹣CF=8﹣x，BE=4．在Rt△BEF中根据勾股定理即可求出x，也就求出了EF． 解答：（1）证明：过D作DG⊥BC于G． 由已知可得四边形ABGD为正方形， ∵DE⊥DC．
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG， ∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD， ∴△ADE≌△GDC， ∴DE=DC且AE=GC． 在△EDF和△CDF中
∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边， ∴△EDF≌△CDF， ∴EF=CF；
（2）解：∵tan∠ADE=
=，
∴AE=GC=2．
设CF=x，则BF=8﹣CF=8﹣x，BE=4．
222
由勾股定理得x=（8﹣x）+4， 解得x=5， 即EF=5．
点评：本题考查梯形、正方形、直角三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．
2
25、（2010?曲靖）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x向左平移1个单位，再向
2
下平移4个单位，得到抛物线y=（x﹣h）+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求h、k的值；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可得到h、k的值；
（2）根据（1）题所得的抛物线的解析式，即可得到A、C、D的坐标，进而可求出AC、AD、CD的长，然后再判断△ACD的形状；
（3）易求得B点的坐标，即可得到AB、AC、OA的长；△AOM和△ABC中，已知的相等角是∠OAM=∠BAC，若两三角形相似，可考虑两种情况： ①∠AOM=∠ABC，此时OM∥BC，△AOM∽△ABC；②∠AOM=∠ACB，此时△AOM∽△ACB； 根据上述两种情况所得到的不同比例线段即可求出AM的长，进而可根据∠BAC的度数求出M点的横、纵坐标，即可得到M点的坐标． 解答：解：（1）∵y=x的顶点坐标为（0，0），
2
∴y=（x﹣h）+k的顶点坐标D（﹣1，﹣4）， ∴h=﹣1，k=﹣4 （3分）
（2）由（1）得y=（x+1）﹣4 当y=0时，
2
（x+1）﹣4=0 x1=﹣3，x2=1 ∴A（﹣3，0），B（1，0）（1分）
22
当x=0时，y=（x+1）﹣4=（0+1）﹣4=﹣3 ∴C点坐标为（0，﹣3）
22
又∵顶点坐标D（﹣1，﹣4）（1分）作出抛物线的对称轴x=﹣1交x轴于点E 作DF⊥y轴于点F
222
在Rt△AED中，AD=2+4=20
222
在Rt△AOC中，AC=3+3=18
222
在Rt△CFD中，CD=1+1=2
222∵AC+CD=AD
∴△ACD是直角三角形（2分）
（3）存在．由（2）知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC=45°； 连接OM，过M点作MG⊥AB于点G， AC= ①若△AOM∽△ABC，则即
，AM=
，
∵MG⊥AB ∴AG+MG=AM ∴
OG=AO﹣AG=3﹣∵M点在第三象限 ∴M（
）（3分）
，
2
2
2
②若△AOM∽△ACB，则即
，
∴AG=MG=
OG=AO﹣AG=3﹣2=1 ∵M点在第三象限 ∴M（﹣1，﹣2）
综上①、②所述，存在点M使△AOM与△ABC相似，且这样的点有两个，其坐标分别为（
），（﹣1，﹣2）．（2分）
点评：此题考查了二次函数图象的平移、直角三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判
定和性质；需注意的是（3）题在不确定相似三角形的对应边和对应角的情况下要分类讨论，以免漏解．
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