所以cos∠HEC′＝
55
， sin∠HEC′＝25
5
，
所以HC′＝EC′·sin∠HEC′＝6
5，
所以sin∠HDC′＝
HC′DC′＝3
2
， 所以直线C′D与平面ABC所成的角为60°.
2．(1)证明 记△ABC的重心为G，连接BG并延长交AC于点M.
因为底面△ABC为正三角形， 所以BG⊥AC，
又点A1在底面上的射影为G， 所以A1G⊥平面ABC， 所以A1G⊥AC， 因为A1G∩BG＝G，
A1G?平面A1BG， BG?平面A1BG，
所以AC⊥平面A1BG， 又A1B?平面A1BG， 所以AC⊥A1B.
又A1B⊥A1C，且A1C∩AC＝C，
A1C?平面A1AC， AC?平面A1AC，
所以A1B⊥平面A1AC， 因此，A1B⊥平面ACC1A1.
(2)解 由于ABC—A1B1C1为棱台，设三侧棱延长交于一点D.因为AB＝2A1B1＝2，则A1，B1分别为棱AD，BD的中点． 又G为正△ABC的重心，
5
则BM＝3，CG＝BG＝22
3BM＝3
，
GM＝1
BM＝
13
3
.
因为A1B⊥平面ACC1A1， 所以A1B⊥A1M，
故在Rt△A1BM中，A1G⊥BM， 由三角形相似，得A2
21G＝BG·GM＝3
，
A1B2＝BG·BM＝2.
取A1D的中点H，连接B1H，CH， 则B12
1H∥A1B，且B1H＝2A1B＝2，
故B1H⊥平面ACC1A1，
即∠B1CH即为直线CB1与平面ACC1A1所成的角． 又—B→—→—→→
1C＝B1A1＋A1G＋GC， 且GC⊥BA，A1G⊥BA，B1A1∥BA， 所以—B→⊥—A→—→→1A11G，B1A1⊥GC， 又—A→→1G⊥GC，
所以—B→2—→2—→2→2
1C＝B1A1＋A1G＋GC＝3， 即B1C＝3， 所以sin∠B1H1CH＝
BCB＝6， 16
即直线CB61与平面ACC1A1所成角的正弦值为6
. 3．(1)证明 由题可得
AC＝AD2＋CD2＝22， CE＝BC＝22＋4－2
2
＝22，
∴AC＝CE.
又H是AE的中点，∴CH⊥AE.
6
∵AC＋BC＝AB，∴AC⊥BC， ∴AC⊥EF.
∵CE⊥EF，AC⊥EF，AC∩CE＝C， ∴EF⊥平面ACE.
∵HC?平面ACE，∴EF⊥HC， 又EF∩AE＝E，∴CH⊥平面AEF.
(2)解 方法一 过点A作AK⊥CE，垂足为K，连接KF，过点N作NL∥AK，交KF为L，连接
222
ML，∵EF⊥平面ACE，
∴平面EFK⊥平面ACE，
又∵平面EFK∩平面ACE＝CE，AK?平面ACE， ∴AK⊥平面EFK，∴NL⊥平面EFK，
∴∠NML就是直线MN与平面BCEF所成的角． 设FL＝x，∵AK＝6，KF＝26， 则NL＝
313
x，
ML2＝FL2＋FM2－2FM×FL×
422
cos∠MFL＝x－x＋2，
13∴tan∠NML＝ 32x13
NLML＝
42x2－x＋2
13
313
＝
，
421－×＋1x213x2
1?1
，＋∞?∵x∈(0，26)，∴∈??，
x?26?1
∴当＝213
x时，(tan∠NML)max＝
3， 3
π
∴直线MN与平面BCEF所成角的最大值是. 6
方法二 以点C为原点，分别以CA，CB所在直线为x轴、y轴，过点C垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，
7
∴C(0,0,0)，A(22，0,0)，B(0,22，0)，E(－2，0，6)，
∴→CF＝→CE＋→EF＝→CE＋→
CB＝(－2，0，6)＋(0,22，0)＝(－2，22，6)， ∴F(－2，22，6)，M(－2，2，6)． 设n＝(x，y，z)是平面BCEF的法向量， ?由??
n·→CB＝0，
即??
22y＝0，
?n·→CE＝0，
??－2x＋6z＝0，
令z＝1，得n＝(3，0,1)． 设|→AN|＝λ|→
AF|(0<λ<1)， →CN＝→CA＋→AN＝→CA＋λ→AF
＝(22，0,0)＋λ(－32，22，6) ＝(22－32λ，22λ，6λ)， →MN＝→CN－→CM
＝(32－32λ，22λ－2，6λ－6)， ∴sinθ＝|n·→MN|
|n|·|→MN|＝
26
1－λ3
1－λ232λ2
－56λ＋26
＝
16λ2
－28λ＋13
，
令x＝1－λ，x∈(0,1)， 则sinθ＝
3x16x2
－4x＋1
＝
314
≤1
2， x2－x＋16
当111
x＝2，即x＝2，λ＝2时取等号． ∴θ的最大值是π6.
能力提升练
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