空间2点的距离：向量在轴上的投影：d?M1M2?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)222PrjuAB?AB?cos?,?是AB与u轴的夹角。????Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2????a?b?a?bcos??axbx?ayby?azbz,是一个数量两向量之间的夹角：cos??k,axbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bz222222i???c?a?b?axbxjayby???az,c?a?bsin?.例：线速度：bzaybycyazbzcz???v?w?r.ax??????向量的混合积：[abc]?(a?b)?c?bxcx代表平行六面体的体积。????a?b?ccos?,?为锐角时，
平面的方程：1、点法式：?A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)Ax?By?Cz?D?0xa?yb?zc?1d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C空间直线的方程：2222、一般方程：3、截距世方程：平面外任意一点到该平面的距离：?x?x0?mtx?x0y?y0z?z0?????t,其中s?{m,n,p};参数方程：?y?y0?ntmnp?z?z?pt0?2222二次曲面：1、椭球面：2、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面：xaxa2222xa222??yb?2zc?1xy2p2q?z（,p,q同号）??ybyb2222??zczc2222?1?（马鞍面）1
多元函数微分法及应用
全微分：dz??z?xdx??z?ydy du??u?xdx??u?ydy??u?zdz全微分的近似计算：多元复合函数的求导法?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y：dz?z?u?z?vz?f[u(t),v(t)] ???? dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz?f[u(x,y),v(x,y)] ? ????x?u?x?v?x当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，du??u?xdx??u?ydy dv??v?xdx??v?ydy 隐函数的求导公式：FFFdydy??dy隐函数F(x,y)?0， ??x， 2?(?x)＋(?x)?dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z隐函数F(x,y,z)?0， ??， ???xFz?yFz?F?F(x,y,u,v)?0?(F,G)隐函数方程组：? J???u?G?(u,v)?G(x,y,u,v)?0?u?u?x?u?y????1?(F,G)?v1?(F,G)? ???J?(x,v)?xJ?(u,x)1?(F,G)?v1?(F,G)? ???J?(y,v)?yJ?(u,y)?F?v?Fu?GGu?vFvGv2
微分法在几何上的应用：
?x??(t)x?x0y?y0z?z0?空间曲线?y??(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：????(t0)??(t0)??(t0)?z??(t)?在点M处的法平面方程：若空间曲线方程为：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0FzGzGz,FzFxGx,FxGxFyGy??Fy?F(x,y,z)?0,则切向量T?{?Gy??G(x,y,z)?0}曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0)，则：?1、过此点的法向量：n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0x?x0Fx(x0,y0,z0)?y?y0Fy(x0,y0,z0)?z?z0Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其中?为x轴到方向l的转角。l的方向导数为：?f?l??f?xcos???f?ysin?函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?它与方向导数的关系是单位向量。?l多元函数的极值及其求法： ??f是gradf(x,y)在l上的投影。?f??f?i?j?x?y???f??：?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的?l设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A, fxy(x0,y0)?B, fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2??AC?B?0时，?A?0,(x0,y0)为极小值??2则：值?AC?B?0时， 无极?AC?B2?0时, 不确定???
重积分及其应用：
??Df(x,y)dxdy???D?f(rcos?,rsin?)rdrd???z???z???1??????dxdy??x???y?22曲面z?f(x,y)的面积A???Dx平面薄片的重心：x?MM??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D, y?MMy???DDy?(x,y)d????(x,y)d???D平面薄片的转动惯量：平面薄片（位于Fx?f对于x轴Ix???Dy?(x,y)d?, 对于y轴Iy?2x?(x,y)d?2xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：， Fy?f3??D?(x,y)xd?222??D?(x,y)yd?222， Fz??fa??3D?(x,y)xd?3(x?y?a)2(x?y?a)2(x?y?a)2222柱面坐标和球面坐标：
?x?rcos??柱面坐标：?y?rsin?, ???f(x,y,z)dxdydz???z?z?其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)????F(r,?,z)rdrd?dz,?x?rsin?cos??2球面坐标：?y?rsin?sin?， dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d??z?rcos??2??r(?,?)????f(x,y,z)dxdydz?1M????F(r,?,?)rsin?drd?d??1M2?d??d?00?F(r,?,?)rsin?dr02重心：x?转动惯量：????x?dv, y?????y?dv, z?1M2????z?dv， 其中M?x?22?????dvIx?????(y?z)?dv， Iy?22????(x?z)?dv， Iz?2????(x?y)?dv曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：?x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：?, (??t??),则：y??(t)???Lf(x,y)ds????x?t22??f[?(t),?(t)]?(t)??(t)dt (???) 特殊情况：??y??(t)第二类曲线积分（对坐设L的参数方程为标的曲线积分）：?x??(t)，则：?y??(t)???P(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dtL?两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式：??(D系：?Pdx?Qdy?L?(Pcos?L?Qcos?)ds，其中?和?分别为的方向角。)dxdy??Q?x??P?y?Pdx?Qdy格林公式：??(LD?Q?x??P?y)dxdy?12?PdxL?Qdy?Q?P当P??y,Q?x，即：??2时，得到D的面积：A??x?y·平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在?Q?x＝?P?y注意方向相反！：，且?Q?x无关的条件：??Ddxdy??xdyL?ydx＝?P?y。注意奇点，如(0,0)，应时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：(x,y)u(x,y)??P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设(x0,y0)x0?y0?0。
曲面积分： 对面积的曲面积分：对坐标的曲面积分：????f(x,y,z)ds???Dxyf[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy22??P(x,y,z)dydzDxy?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy，其中：号；号；号。?Qcos??Rcos?)ds??R(x,y,z)dxdy?????R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正????P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正Dyz??P(x,y,z)dydz???Q(x,y,z)dzdx?????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????(Pcos??高斯公式：
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