( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 一．填空题（每小题4分，共24分）
1.设 z?x4y3?2x，则dz(1,2) 学院 专业 座位号 ?34dx?12dy
?x?acostyz?2.曲线?:?y?asint在点 (a,0,0)的切线方程为x?a,?
ac?z?ct??(x2?y2)xy?3.已知f(x,y)??x2?y2?0?(x,y)?0(x,y)?0，则fx(0,y)??y.
4.函数z?x2?y2在点P0(1,2)处沿从点P0(1,2)到点P?1(2,2方向的方向导数是3)1?23 5.设L为取逆时针方向的圆周x2?y2?9，则曲线积分
??(2xy?2y)dx?(xL2?4x)dy??18?
2. 4_____________ ________ 6.设L为直线y?x上点(0,0)到点(1,1)之间的一段，则曲线积分?xy2ds?L2二. （本题7分） 计算二重积分??2xy2exyd?，其中D是由y?1,x?y,Dx?0所
围成的闭区域. =?dy?01y0姓名 学号 2xy2exydx------4’
21=(e?2)---------------4’ 2 222??x?y?z?2三. （本题7分）计算三重积分???zdv，其中?是由?所确定. 22??z?x?yΩ=?= 2?0d??rdr?012?r2r2zdz-------4’
7?----------------------3’ 12《高等数学》试卷第 1 页 共 5 页
四．（本题7分）计算??xz2dydz?(x2y?z2)dzdx?(2xy?y2z)dxdy，其中?为半球
?面z?a2?x2?y2的上侧.
补面z?0,取下侧,---------------------------1’ =???x2?y2?z2dv???2xy?y2zdxdy-------------3’
??1=?=
2?0?0d??2d??r4sin?dr---------------------2’
0a2?5
a-------------------------------------1’ 5
1五．（本题7分）计算??(x?y?1)dS，其中?为抛物面z?(x2?y2)(0?z?1).
2?=
2x?y2?2??(x?y?1)1?x2?y2dxdy-------------4’
=?=
2?0d??20r1?r2dr---------------------2’
2?(33?1)----------------- 3六．（本题7分）求u?x?2y?2z在约束条件x2?y2?z2?1下的最大值和最小值.
F?x?2y?2z??(x2?y2?z2?1)-----------------2’
Fx?1?2x??0Fy?0Fz?0 ---------------------------------------3’
x2?y2?z2?1
122u(,?,)?3(max)---------------------------------1’ 333122u(?,,?)??3(min)------------------------------1’
333
《高等数学》试卷第 2 页 共 5 页
x?z?2z七．（本题7分）设z?f(x,),f具有连续二阶偏导数,求,.
y?x?x?y?z1?f1'?f2'---------------------3’ ?xy?2z1''''??3(xyf12?xf22?yf2')--------4’ ?x?yy
八. （本题7分）求微分方程(y?x2e?x)dx?xdy?0的通解.
1y?xe?x------------------------1’ x1由y'?y?0解出y?Cx--------------3’
xy'?常数变易解出y?x(C?e?x)------------3’
九.（本题8分）设f(x)具有二阶连续导数，f(0)?0,f'(0)?1，且
[xy(?x通解.
y)?f(x)及此全微分方程的全微分方程，求f(x)y]?dx(f?'2(x)xy?)dy0由Px?Qx得f''(x)?f(x)?x2-----------2’
f(x)?2cosx?sinx?x2?2------------3’
x2y2?2xy?c----3’ 通解?2ysinx?ycosx?2
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xn十. (非化工类做)（本题7分）求幂级数?的收敛域及其和函数.
n?1n?0?收敛域[?1,1)-----------2’
?ln(1?x)x?0??,x?[?1,1)-----5’ S(x)??x?x?0?1[?1,1)
十一. (非化工类做)（本题6分）将函数f(x)?ln
f(x)?ln(1?x)?ln(1?x)--------------2’
1?x展开成x的幂级数. 1?x((?1)n?1)xn---------------4’ f(x)??n?1n?0?
(?1)n?1?2x2十二. (非化工类做)（本题6分）证明在区间[??,?]上等式?cosnx??成2n124n?1?立.
x2知道将在[??,?]展开为Fourier级数-------2’
4a0?2?2??0x2?2dx?-----------------2’ 46x2(?1)n?1cosnxdx?---------2’ 4nan????0
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十. (化工类做) （本题7分）在曲面z?2x2?面4x?2y?2z?1?0平行.
1切点(,?1,1)------------5’
212y上求出切平面，使所得切平面与平2切平面方程2x?y?z?1?0-----------2’
十一. (化工类做)（本题6分）设z?z(x,y)是由方程x2?y2?z??(x?y?z)所确定的函数，其中?(x)可导，求dz.
两边微分2xdx?2ydy?dz??'(dx?dy?dz)--------------3’
dz?(2x??')dx?(2y??')dy--------------------------------3,
1??'
1?22(x?y)sin?x2?y2十二. (化工类做)（本题6分）证明函数f(x,y)???0?x2?y2?0x2?y2?0在
原点(0,0)处可微，但偏导函数fx(x,y)在点(0,0)处不连续.
用定义算出fx(0,0)?0,fy(0,0)?0------------------------1’ 说明f(?x,?y)?x??y22?0------------------------------------------2’ 1x?y22fx(x,y)?2xsin?xx?y22cos1x?y22 在点(0,0)不连续------------------------------------------------------3’
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