推荐学习K12资料
1.2.1 平面的基本性质与推论
1下面四个条件中,能确定一个平面的条件是( ) A.空间任意三点 B.空间两条直线 C.两条平行线 答案：C 2经过同一直线上的三个点,可以作平面( )
D.一条直线和一个点
A.1个 C.3个 答案：D 3下列图形中,满足α∩β=AB,a?α,b?β,a∥AB,b∥AB的图形是( )
B.2个 D.无数个
解析：可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断. 答案：C 4下列四种叙述:
①空间四点共面,则其中必有三点共线; ②空间四点不共面,则其中任何三点不共线; ③空间四点中有三点共线,则此四点必共面; ④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.
其中正确叙述的序号是( ) A.②③④ C.①②③
B.②③ D.①③
解析：因为四棱柱中每个面都有四个点,但这四个点中没有三点是共线的,所以①错;因为三点不共线但四点可以共面,所以④错.
推荐学习K12资料
推荐学习K12资料
答案：B 5如果平面α和平面β有三个公共点A,B,C,那么平面α和平面β的位置关系为( ) A.平面α和平面β只能重合
B.平面α和平面β只能交于过A,B,C三点的一条直线
C.如果点A,B,C不共线,则平面α和平面β重合;如果点A,B,C共线,则平面α和平面β重合或相交于过点A,B,C的一条直线 D.以上都不对
解析：应分点A,B,C共线与不共线两种情况讨论. 答案：C 6在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线( ) A.不存在
B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有无数条
解析：如图所示,在A1D1上任取一点P.
过点P与直线EF作一个平面α. 因为CD与平面α不平行,所以它们相交. 设α∩CD=Q.连接PQ,则PQ与EF必然相交, 即PQ为所求直线.
由P点的任意性知,有无数条直线与A1D1,EF,CD都相交. 由于点P是任取的一点,则有无数条,故选D. 答案：D 7已知点A,直线a,平面α,
①A∈a,a∈α?A∈α; ②A?a,a?α?A?α; ③A∈a,a?α?A?α.
以上命题中正确的个数为 .
推荐学习K12资料
推荐学习K12资料
解析：①中“a∈α”符号不对;②中A可以在α内,也可以在α外,故不正确;③中“A?α”符号不对. 答案：0 8有下列命题:
①空间三点确定一个平面; ②有3个公共点的两个平面必重合; ③空间两两相交的三条直线确定一个平面; ④等腰三角形是平面图形; ⑤垂直于同一直线的两条直线平行;
⑥一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交.
其中正确命题的序号是 .
解析：由平面的基本性质2知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题①②均错,②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时).③中空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三条直线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面.因为在正方体ABCD-A'B'C'D'中,直线BB'⊥AB,BB'⊥BC,但AB与BC不平行,所以⑤错.因为在正方体
ABCD-A'B'C'D'中,AB∥CD,BB'∩AB=B,但BB'与CD不相交,所以⑥错.
答案：④
9两条异面直线在同一个平面内的正投影是
.
解析：要判断两异面直线在同一平面内的正投影的情况,即判断两条异面直线在同一平面内的投影的各种情形,如图①可知正投影是两条相交直线;如图②可知正投影是两条平行直线;如图③可知正投影是一个点和一条直线.
答案：两条相交直线或两条平行直线或一个点和一条直线
10已知:a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线.求证:a,b,c,d共面.
分析：四条直线两两相交且不过同一点,又可分成两种情况:一是有三条直线共点;二是任何三条直线都不共点.因而本题需分类后进行各自的证明.需要注意的是,要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明.
证明(1)有三线共点的情况,如图.
推荐学习K12资料
推荐学习K12资料
设b,c,d三线相交于点K, 与a分别交于点N,P,M,且K?a.
因为K?a,所以K和a确定一个平面,设为α. 因为N∈a,a?α, 所以N∈α,
所以NK?α,即b?α.
同理,c?α,d?α,所以a,b,c,d共面. (2)无三线共点情况,如图.
设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R, b∩c=S. 因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α. 因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α. 所以NQ?α,即b?α. 同理,c?α.所以a,b,c,d共面. 由(1)(2)知a,b,c,d共面.
11如图,已知平面α,β,且α∩β=l.设在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB?α,CD?β,求证:AB,CD,l共点(相交于一点). 证明∵在梯形ABCD中,AD∥BC,
∴AB,CD是梯形ABCD的两腰, ∴AB,CD必相交于一点.设AB∩CD=M,
又AB?α,CD?β,
∴M∈α,M∈β,
∴M在α与β的交线上.
又∵α∩β=l,∴M∈l,即AB,CD,l共点.
推荐学习K12资料
推荐学习K12资料
★12正方体是常见的并且重要的多面体,对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解
和掌握.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是所在棱的中点,请思考并回答下列问题:
(1)直线EF,GH,DC能交于一点吗?
(2)若E,F,G,H四点共面,怎样才能画出过四点E,F,G,H的平面与正方体的截面? (3)若正方体的棱长为a,那么(2)中的截面面积是多少?
分析：: (1)要证三线共点,可先证两条直线共点,然后证明另一条直线也通过这一点.
(2)作截面的关键在于作出截面与各个侧面的交线(或者是作出截面与正方体的各棱的交点),而要确定两个平面的交线,要找到同时在两个平面上的至少两个点. 解(1)如图,能交于一点.理由如下:
因为E,F分别为棱AB,BC的中点,易得E,F∈平面ABCD,且EF与CD相交,设交点为P. 由△EBF≌△PCF, 可得PC=BE= AB.
同理,GH与CD相交,设交点为P1, 同样可得P1C=C1G=C1D1=AB.
所以P1与P重合,因此直线EF,GH,DC能交于一点.
(2)如图,延长HG,DD1,相交于点R,延长FE交DA的延长线于点Q,则点R,Q是截面与侧面ADD1A1
的公共点,连接RQ与A1D1,A1A分别交于点M,T,连接GM,TE,可得截面与正方体各面的交线分别为
EF,FH,HG,GM,MT,TE.截面如图中的阴影部分.
推荐学习K12资料
相关推荐：
loading