2019年广东省深圳市高三第二次调研考试(二模)数学理科试题

19．（本题满分14分）

已知M是以点C为圆心的圆(x?1)?y?8上的动点，定点D(1,0).点P在DM上，点N在CM上，且满足DM?2DP,NP?DM?0．动点N的轨迹为曲线E. （Ⅰ）求曲线E的方程；

(Ⅱ)线段AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求?AOB面积S的取值范围.

20．（本题满分14分）

22an?11*已知数列{an}满足：a1?1,a2?，且an?2?（n?N）．

2an?an?1（Ⅰ）求证：数列{2an}为等差数列； an?1（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅲ）求下表中前n行所有数的和Sn．

a1a1 a2a2a1 a3a1a2a3 ……………………………

a1anan?1a2an?1an?1??ana1 an?1…………………………………………

21．（本题满分14分）

已知函数f(x)?x?alnx(常数a?0).

(Ⅰ) 当a?3时，求曲线y?f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数f(x)在区间(1,e)上零点的个数（e为自然对数的底数）.

20xx年深圳市高三年级第二次调研考试

数学(理科)答案及评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．

1 C 2 A 3 A 4 B 5 D 6 C 7 A 8 D a2二、填空题：本大题每小题5分(第12题前空2分，后空3分)，满分30分． 9．

1π． 10．10． 11． 52.5％． 12． ?.

2410?1212?． 14．?，? ． 15．63． 2?55? 13．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且a?4,C?2A,cosA?(Ⅰ) 求sinB； (Ⅱ) 求b的长.

解：(Ⅰ)在?ABC中，

3． 43cosA?,C?2A.

431?cosC?cos2A?2cos2A?1?2?()2?1?. …………………………2分

48737,sinC?, …………………………6分 从而sinA?487133757????.……9分 ∴sinB?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC?484816(Ⅱ)由正弦定理可得

ab， ?sinAsinBasinB?b??5. …………………………12分

sinA 17．（本小题满分12分）

某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为

1，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为23002的台式电脑一台，得到奖券4张.

(Ⅰ)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为?，求?的分布列；

(Ⅱ)设该顾客购买台式电脑的实际支出为?（元），用?表示?，并求?的数学期望. 解：(Ⅰ)?的所有可能值为0，1，2，3，4.…………………………1分

11P(??0)?()4?，

21641114P(??1)?C4()??，

216463214P(??2)?C4()??

216841314P(??3)?C4()??，

21641414P(??4)?C4()?. …………………………4

216分

其分布列为：

? P 120 1 2 3 4 1 161 43 81 41 16…………………………6分

(Ⅱ)

?~B(4,)，

1?2. …………………………82 ?E??4?分

由题意可知

??2300?100?， …………………………10

分

?E??2300?100E??2300?200?2100元. …………………………12

分

18．如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，?A?60?,把?C?90?,CD?2．

，使二面角A?BD?C的余弦值等于?ABD沿BD折起（如图二）以下各小题： （Ⅰ）求A,3．对于图二，完成3C两点间的距离；

（Ⅱ）证明：AC?平面BCD；

（Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

A C

D B C

B

E A

（图一） （图二） 解：（Ⅰ）取BD的中点E，连接AE,CE， 由AB?AD,CB?CD，得：

D